자연계열 2번

[2.1] 아래 그림과 같이 구의 중심을 지나고 햇빛의 방향에 수직하도록 구를 자르면 잘린 단면은 원이고 그 넓이를 $\displaystyle S$라 하자. 이 면과 평평한 지면 사이의 각을 $\displaystyle \theta$, 타원의 넓이를 $\displaystyle S^{\prime}$라 하면 $\displaystyle S=S^{\prime}\cos(90^\circ-\theta)$가 성립한다. 따라서 타원의 넓이 $\displaystyle S^{\prime}$는$\displaystyle S^{\prime}=\frac S{\cos(90^\circ-\theta)}=\frac S{\sin\theta}=\frac{400\pi}{\frac45}=500\pi$이다.

원의 지름을 $\displaystyle L$이라 하면 타원의 장축 길이는 $\displaystyle \frac L{\sin\theta}=\frac{40}{\frac45}=50$이다.

[2.2](1) 높이 구하기: 원점에서 초점까지 거리가 높이이므로 $\displaystyle \sqrt{b^2-a^2}=\sqrt{25^2-20^2}=15$이다.(2) 밑변의 길이 구하기:초점거리를 이용하면 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{FF}^{\prime}}$의 길이는 $\displaystyle 30$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AF}}$를 $\displaystyle x$라 놓으면$\displaystyle \overline{\mathrm{AF}^{\prime}}=\overline{\mathrm{KL}}-x=2b-x=50-x$이다. $\displaystyle \triangle\mathrm{AFF}^{\prime}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle x^2+30^2=(50-x)^2$이 성립한다. 방정식의 해는 $\displaystyle x=16$이므로 선분 AB의 길이는 $\displaystyle 32$이다.(3) 삼각형 넓이: 삼각형 ABC의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\text{밑변의 길이}\times\text{높이}=240$이다.

[2.3] 아래 그림과 같이 타원 위의 점 D에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 M이라고 하자. 그러면 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}=|\overline{\mathrm{AB}}||\overline{\mathrm{AD}}|\cos(\angle\mathrm{DAM})=\pm|\overline{\mathrm{AB}}||\overline{\mathrm{AM}}|$이다. 마찬가지로 점 C에서 선분 AB의 연장선 위에 내린 수선의 발을 N이라 하면 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=|\overline{\mathrm{AB}}||\overline{\mathrm{AC}}|\cos(\angle\mathrm{CAN})=|\overline{\mathrm{AB}}||\overline{\mathrm{AN}}|$이다.즉 $\displaystyle |\overline{\mathrm{AM}}|\leq|\overline{\mathrm{AN}}|$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}\leq\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$이 성립한다.

[2.4] $\displaystyle y=20\sin t$이므로 타원 방정식을 풀면 $\displaystyle x=\pm25\cos t$이다. 타원에서 같은 점의 시간에 따른 위치는 $\displaystyle (\pm25\cos t,20\sin t)$이므로 속력은 $\displaystyle V=\sqrt{(25)^2\sin^2t+(20)^2\cos^2t}$이다. 따라서 최댓값은 $\displaystyle \frac{dV}{dt}=0$을 만족하는 $\displaystyle t$에서 얻을 수 있다. $\displaystyle \sin2t=0$로부터 $\displaystyle t=\frac\pi2$일 때 $\displaystyle \frac{dV}{dt}=0$이 된다. 따라서 $\displaystyle t=\frac\pi2$에서 최댓값을 가지며 최댓값은 $\displaystyle 25$이다.