자연계열 1-3번

[1.3] 두 매개곡선은 각각 원 $\displaystyle x^2+y^2=12$와 포물선 $\displaystyle y=x^2$이다. 원 $\displaystyle x^2+y^2=12$와 포물선 $\displaystyle y=x^2$의 교점을 구하기 위해 원의 방정식에 $\displaystyle y=x^2$을 대입하면$\displaystyle (x^2)^2+x^2-12=0$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle x^2=-4$ 또는 $\displaystyle x^2=3$이 되고, $\displaystyle x$는 실수이므로, 두 교점은 $\displaystyle (-\sqrt3,3)$과 $\displaystyle (\sqrt3,3)$이다.이로부터 직선 $\displaystyle y=L(x)$는 $\displaystyle y=mx+n=3$임을 알 수 있다.문제의 조건 (1)로부터 $\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=1$이고, 가정에서 $\displaystyle \alpha<\beta<\gamma$이므로 $\displaystyle \alpha=-\sqrt3$, $\displaystyle \beta=1$, $\displaystyle \gamma=\sqrt3$이다. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$가 직선 $\displaystyle y=L(x)=3$과 $\displaystyle x=\pm\sqrt3,1$에서 만나므로$\displaystyle y=f(x)=a(x-1)(x^2-3)+3$이다. 문제의 조건 (2)를 이용하면$\displaystyle \int_\alpha^\gamma f(x)\,dx=6\sqrt3+4\sqrt3a=0$이므로 $\displaystyle a=-\frac32$이다. 따라서$\displaystyle a+b+c=f(1)-f(0)=3-\left(-\frac32\times3+3\right)=\frac92$을 얻는다.