수리논술, 이게 다다.

자연계열 3번

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서울과학기술대 2020학년도 모의논술 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2020mo/jayeon_3

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[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

주머니 안에 크기와 모양이 같은 열쇠가 4\displaystyle 4개 들어있다. 그 중 2\displaystyle 2개는 일반열쇠이고, 나머지 2\displaystyle 2개는 황금열쇠이다. 황금열쇠를 찾기 위해 이 주머니에서 하나씩 2\displaystyle 2개의 열쇠를 꺼내려한다. (단, 꺼냈던 열쇠는 다시 넣지 않는다.) 확률변수 X\displaystyle X를 첫 번째 황금열쇠를 찾아낼 때까지 꺼낸 횟수, 확률변수 Y\displaystyle Y를 두 번째 황금열쇠를 찾아낼 때까지 꺼낸 횟수라 하자.

(가) 확률변수 X\displaystyle X의 확률질량함수는 P(X=x)=4−x6\displaystyle P(X=x)=\frac{4-x}6, x=1,2,3\displaystyle x=1,2,3이다. 그리고 확률변수 X−1\displaystyle X-1의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.X−1012합계P3626161\displaystyle \begin{array}{c|ccc|c}X-1&0&1&2&\text{합계}\\\hline P&\frac36&\frac26&\frac16&1\end{array}

(나) 확률변수 Y\displaystyle Y의 확률질량함수는 P(Y=y)=y−16\displaystyle P(Y=y)=\frac{y-1}6, y=2,3,4\displaystyle y=2,3,4이다. 그리고 확률변수 4−Y\displaystyle 4-Y의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.4−Y012합계P3626161\displaystyle \begin{array}{c|ccc|c}4-Y&0&1&2&\text{합계}\\\hline P&\frac36&\frac26&\frac16&1\end{array}

[3.1] 주머니 안에 세 개의 일반열쇠, 두 개의 황금열쇠, 총 다섯 개의 열쇠가 들어 있다. 확률변수 X\displaystyle X의 확률분포를 표로 나타내고, 확률질량함수를 구하시오.

[3.2] 주머니 안에 세 개의 일반열쇠, 두 개의 황금열쇠, 총 다섯 개의 열쇠가 들어 있다. 확률변수 6−Y\displaystyle 6-Y의 확률분포는 X\displaystyle X의 확률분포와 동일함을 보이시오.

[3.3] 황금열쇠 두 개를 포함해서 주머니 안에 전체 열쇠의 개수가 9\displaystyle 9개인 경우에 대하여, P(Y=5)\displaystyle P(Y=5)를 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2020학년도 모의논술 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2020mo/jayeon_3

[3.1] X\displaystyle X가 될 수 있는 값은 1,2,3,4\displaystyle 1,2,3,4이다.X1234가능한 경우∙∘∙∘∘∙∘∘∘∙확률25(35)(24)(35)(24)(23)(35)(24)(13)(22)\displaystyle \begin{array}{c|cccc}X&1&2&3&4\\\hline\text{가능한 경우}&\bullet&\circ\bullet&\circ\circ\bullet&\circ\circ\circ\bullet\\\text{확률}&\frac25&\left(\frac35\right)\left(\frac24\right)&\left(\frac35\right)\left(\frac24\right)\left(\frac23\right)&\left(\frac35\right)\left(\frac24\right)\left(\frac13\right)\left(\frac22\right)\end{array}●: 황금열쇠, ○: 일반열쇠확률변수 X\displaystyle X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.X1234합계P(X=x)4103102101101\displaystyle \begin{array}{c|cccc|c}X&1&2&3&4&\text{합계}\\\hline P(X=x)&\frac4{10}&\frac3{10}&\frac2{10}&\frac1{10}&1\end{array}확률변수 X\displaystyle X의 확률질량함수는 P(X=x)=3Px−1×2P15Px=5−x10\displaystyle P(X=x)=\frac{{}_{3}\mathrm P_{x-1}\times{}_{2}\mathrm P_1}{{}_{5}\mathrm P_x}=\frac{5-x}{10}, x=1,2,3,4\displaystyle x=1,2,3,4이다.

[3.2] 확률변수 Y\displaystyle Y가 가질 수 있는 값은 2,3,4,5\displaystyle 2,3,4,5이다.Y2345가능한 경우∙∙∙∘∙∘∙∙∙∘∘∙∘∙∘∙∘∘∙∙∙∘∘∘∙∘∙∘∘∙∘∘∙∘∙∘∘∘∙∙\displaystyle \begin{array}{c|cccc}Y&2&3&4&5\\\hline\text{가능한 경우}&\bullet\bullet&\begin{gathered}\bullet\circ\bullet\\\circ\bullet\bullet\end{gathered}&\begin{gathered}\bullet\circ\circ\bullet\\\circ\bullet\circ\bullet\\\circ\circ\bullet\bullet\end{gathered}&\begin{gathered}\bullet\circ\circ\circ\bullet\\\circ\bullet\circ\circ\bullet\\\circ\circ\bullet\circ\bullet\\\circ\circ\circ\bullet\bullet\end{gathered}\end{array}Y\displaystyle Y의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.Y2345합계P(Y=y)1102103104101\displaystyle \begin{array}{c|cccc|c}Y&2&3&4&5&\text{합계}\\\hline P(Y=y)&\frac1{10}&\frac2{10}&\frac3{10}&\frac4{10}&1\end{array}확률변수 Y\displaystyle Y의 확률질량함수는 P(Y=y)=y−110\displaystyle P(Y=y)=\frac{y-1}{10}, y=2,3,4,5\displaystyle y=2,3,4,5이다.6−Y\displaystyle 6-Y의 확률분포를 표로 나타내면 X\displaystyle X의 확률분포와 동일하다.6−Y1234합계P4103102101101\displaystyle \begin{array}{c|cccc|c}6-Y&1&2&3&4&\text{합계}\\\hline P&\frac4{10}&\frac3{10}&\frac2{10}&\frac1{10}&1\end{array}T=6−Y\displaystyle T=6-Y라고 할 때, T\displaystyle T의 확률질량함수는 P(T=t)=(6−t)−110=5−t10\displaystyle P(T=t)=\frac{(6-t)-1}{10}=\frac{5-t}{10}, t=1,2,3,4\displaystyle t=1,2,3,4X\displaystyle X의 확률질량함수와 동일함을 알 수 있다.

[3.3]∙∘∘∘∙∘∙∘∘∙∘∘∙∘∙∘∘∘∙∙\displaystyle \begin{gathered}\bullet\circ\circ\circ\bullet\\\circ\bullet\circ\circ\bullet\\\circ\circ\bullet\circ\bullet\\\circ\circ\circ\bullet\bullet\end{gathered}Y\displaystyle Y가 5\displaystyle 5가 되는 경우는 총 4\displaystyle 4가지이고 첫 번째 황금열쇠를 꺼낸 순서에 상관없이 확률은 모두 136\displaystyle \frac1{36}로 동일하다. 그러므로 P(Y=5)=136×4=19\displaystyle P(Y=5)=\frac1{36}\times4=\frac19

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