자연계열 3번

[3.1] $\displaystyle X$가 될 수 있는 값은 $\displaystyle 1,2,3,4$이다.$\displaystyle \begin{array}{c|cccc}X&1&2&3&4\\\hline\text{가능한 경우}&\bullet&\circ\bullet&\circ\circ\bullet&\circ\circ\circ\bullet\\\text{확률}&\frac25&\left(\frac35\right)\left(\frac24\right)&\left(\frac35\right)\left(\frac24\right)\left(\frac23\right)&\left(\frac35\right)\left(\frac24\right)\left(\frac13\right)\left(\frac22\right)\end{array}$●: 황금열쇠, ○: 일반열쇠확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|cccc|c}X&1&2&3&4&\text{합계}\\\hline P(X=x)&\frac4{10}&\frac3{10}&\frac2{10}&\frac1{10}&1\end{array}$확률변수 $\displaystyle X$의 확률질량함수는 $\displaystyle P(X=x)=\frac{{}_{3}\mathrm P_{x-1}\times{}_{2}\mathrm P_1}{{}_{5}\mathrm P_x}=\frac{5-x}{10}$, $\displaystyle x=1,2,3,4$이다.

[3.2] 확률변수 $\displaystyle Y$가 가질 수 있는 값은 $\displaystyle 2,3,4,5$이다.$\displaystyle \begin{array}{c|cccc}Y&2&3&4&5\\\hline\text{가능한 경우}&\bullet\bullet&\begin{gathered}\bullet\circ\bullet\\\circ\bullet\bullet\end{gathered}&\begin{gathered}\bullet\circ\circ\bullet\\\circ\bullet\circ\bullet\\\circ\circ\bullet\bullet\end{gathered}&\begin{gathered}\bullet\circ\circ\circ\bullet\\\circ\bullet\circ\circ\bullet\\\circ\circ\bullet\circ\bullet\\\circ\circ\circ\bullet\bullet\end{gathered}\end{array}$$\displaystyle Y$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|cccc|c}Y&2&3&4&5&\text{합계}\\\hline P(Y=y)&\frac1{10}&\frac2{10}&\frac3{10}&\frac4{10}&1\end{array}$확률변수 $\displaystyle Y$의 확률질량함수는 $\displaystyle P(Y=y)=\frac{y-1}{10}$, $\displaystyle y=2,3,4,5$이다.$\displaystyle 6-Y$의 확률분포를 표로 나타내면 $\displaystyle X$의 확률분포와 동일하다.$\displaystyle \begin{array}{c|cccc|c}6-Y&1&2&3&4&\text{합계}\\\hline P&\frac4{10}&\frac3{10}&\frac2{10}&\frac1{10}&1\end{array}$$\displaystyle T=6-Y$라고 할 때, $\displaystyle T$의 확률질량함수는 $\displaystyle P(T=t)=\frac{(6-t)-1}{10}=\frac{5-t}{10}$, $\displaystyle t=1,2,3,4$$\displaystyle X$의 확률질량함수와 동일함을 알 수 있다.

[3.3]$\displaystyle \begin{gathered}\bullet\circ\circ\circ\bullet\\\circ\bullet\circ\circ\bullet\\\circ\circ\bullet\circ\bullet\\\circ\circ\circ\bullet\bullet\end{gathered}$$\displaystyle Y$가 $\displaystyle 5$가 되는 경우는 총 $\displaystyle 4$가지이고 첫 번째 황금열쇠를 꺼낸 순서에 상관없이 확률은 모두 $\displaystyle \frac1{36}$로 동일하다. 그러므로 $\displaystyle P(Y=5)=\frac1{36}\times4=\frac19$