자연계열 1-1번

[1.1] 로그의 성질에 의하여$\displaystyle a_n=\frac1n\left\{\ln\left(1+\frac1n\right)+\ln\left(1+\frac2n\right)+\cdots+\ln\left(1+\frac nn\right)\right\}=\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac kn\right)$이고 적분과 급수의 관계로부터$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}a_n&=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac kn\right)=\int_0^1\ln(1+x)\,dx\ \left(=\int_1^2\ln x\,dx\right)\\&=2\ln2-1\end{aligned}$이다.