자연계열 1-1번

[1.1]인수분해하면$\displaystyle (x+2)(x^2-20x+20)=0$

이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle \alpha+\beta=20$, $\displaystyle \alpha\beta=20$이다.$\displaystyle (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=320$이고 $\displaystyle \alpha>\beta$이므로 $\displaystyle \alpha-\beta=8\sqrt5$이다. 이때$\displaystyle \frac{\sqrt\alpha+\sqrt\beta}{\sqrt\alpha-\sqrt\beta}=\frac{\alpha+\beta+2\sqrt{\alpha\beta}}{\alpha-\beta}=\frac{20+4\sqrt5}{8\sqrt5}=\frac12+\frac12\sqrt5$

이므로 $\displaystyle p=\frac12$, $\displaystyle q=\frac12$, $\displaystyle r=5$이다. 따라서 $\displaystyle p+q+r=6$이다.