자연계열 I 3-i번

변위변화에 따른 역학적 에너지($\displaystyle E$), 위치 에너지($\displaystyle U$), 운동 에너지($\displaystyle K$)를 그래프는 아래와 같다.

<제시문 3-2>에 의하면 단진동 운동은 $\displaystyle x=A\cos(\omega t)$로 진폭 $\displaystyle A$이고 각진동수가 $\displaystyle \omega$인 주기운동을 한다. 이 문제에서는 수평면에 의한 마찰력과 공기에 의한 저항력을 무시하였으므로 총 역학적 에너지는 보존된다. 즉, $\displaystyle E=\frac12mv^2+\frac12kx^2$이다. 우선 $\displaystyle x=-A$에서는 운동에너지 $\displaystyle K=\frac12mv^2=0$이므로 $\displaystyle E=\frac12kA^2$이고 속도($\displaystyle v$) 0이 된다. $\displaystyle x=0$에서는 위치에너지 $\displaystyle U=\frac12kx^2=0$이고 운동에너지 $\displaystyle K=\frac12mv^2=\frac12kA^2$이므로 속도는 $\displaystyle v=\pm\sqrt{\frac km}A$이다. 여기서 속도의 양의 부호는 오른쪽으로 운동하는 속도이며, 음의 부호는 왼쪽으로 움직이는 것을 나타낸다. 그리고 $\displaystyle x=-A$에서는 $\displaystyle x=A$에서와 마찬가지로 위치에너지 $\displaystyle U=\frac12kA^2$이고 $\displaystyle K=\frac12mv^2=0$이므로 속도($\displaystyle v$) 0이 된다.

이러한 결과를 근거로 하여 물체가 진동하는 물리현상을 생각해보면, 용수철에 질량 $\displaystyle m$인 물체를 매단 후 $\displaystyle A$만큼 잡아당겼다가 놓으면 이 물체는 왼쪽으로 움직이면서 속도가 점점 증가하다가 원점에서 최대가 되고 원점을 통과한 후에는 속도가 서서히 감소하게 된다. 그리고 $\displaystyle -A$위에 도달하면 순간적으로 정지했다가 다시 오른쪽으로 진행하여 원점을 최대 속도로 통과하고 원래 초기위치로 오는 운동을 반복하는 주기적 운동을 함을 알 수 있다. 이러한 운동은 수학적으로 sin 함수로 표현되며, 물리학적으로 이를 단진동 운동이라고 한다.Caution. 속도와 속력을 구별해야 한다: 대학 답안에서 원점까지 증가하여 최대가 되는 것은 속력 $\displaystyle |v|$이다. 원문처럼 오른쪽을 양의 방향으로 정하면, 물체가 $\displaystyle x=A$에서 원점으로 이동하는 동안 속도 $\displaystyle v$는 $\displaystyle 0$에서 $\displaystyle -A\sqrt{\frac{k}{m}}$까지 감소한다. 원점을 지나 $\displaystyle x=-A$로 이동할 때는 속력이 감소하고 속도는 다시 $\displaystyle 0$까지 증가한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.