자연계열 II 2-ii번

<제시문 2-1> 풍력 발전기는 바람의 에너지를 이용하여 발전기 날개를 회전시켜 전기를 생산하는 장치이다. 어떤 곳에 날개의 회전 면적이 $\displaystyle A$인 풍력 발전기가 설치될 예정이다. 면적 $\displaystyle A$에 대해 바람이 속력 $\displaystyle u_o$로 불고 있을 때, 단위 시간당 지나는 공기 질량은 $\displaystyle \rho Au_o$ (단위 : kg/s)이다. 이 때 $\displaystyle \rho$는 공기의 밀도(단위 : kg/m³)이다. 바람의 일률 $\displaystyle P_o$(단위 : W)는 단위 시간당 공기 질량의 운동에너지로부터 구할 수 있다.

$\displaystyle P_o=\frac12\rho Au_o^3$ ······ 식(1)

<제시문 2-2> 풍력 발전기가 설치되면 바람의 운동 에너지가 날개에 전달되면서 속력이 감소하게 된다. 이 때 바람의 속력 $\displaystyle u_o$와 발전기 날개를 지나는 속력 $\displaystyle u_1$, 날개를 빠져나간 속력 $\displaystyle u_2$는 옆의 그림과 같이 나타낼 수 있다($\displaystyle u_o\ge u_1\ge u_2\ge0$).

발전기에 전달된 일률 $\displaystyle P$는 운동에너지와 추진력 두 가지 방식으로 표시할 수 있다. 날개 앞뒤에서 감소한 운동에너지는 날개에 전달된 운동에너지이므로 발전기의 일률은 다음과 같다.

$\displaystyle P=\frac12\rho Au_1(u_o^2-u_2^2)$ ······ 식(2)

또한 날개 앞뒤에서 운동량의 변화율 $\displaystyle \rho Au_1(u_o-u_2)$에 속력 $\displaystyle u_1$을 곱하면 일률이 되므로 발전기의 일률은 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.

$\displaystyle P=\rho Au_1^2(u_o-u_2)$ ······ 식(3)

이 때, 발전기의 효율 $\displaystyle c$는 식(1)에 정의된 바람의 일률 $\displaystyle P_o$에 대해 발전기의 일률 $\displaystyle P$의 비로 정의된다.

$\displaystyle c=\frac P{P_o}$ ······ 식(4)