자연계열 2번

[2-i]원의 중심 $\displaystyle O$에서 선분$\displaystyle AB$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle D$라 하자. 반지름의 길이가 $\displaystyle 2$이므로 선분 $\displaystyle AD$의 길이는 $\displaystyle 2\cos\theta$이다. 따라서 선분$\displaystyle AB$의 길이는 $\displaystyle 4\cos\theta$이다. 그리고 원주각과 중심각의 성질에 의하여 각$\displaystyle BOC$는 $\displaystyle 2\theta$이므로 호$\displaystyle BC$의 길이는 $\displaystyle 4\theta$이다.따라서 성균이가 $\displaystyle A$에서 반대지점 $\displaystyle C$까지 가는데 걸리는 시간은$\displaystyle f(\theta)=\frac{4\cos\theta}5+\frac{4\theta}{10}=\frac{4\cos\theta+2\theta}5$이다.

[2-ii]성균이가 $\displaystyle A$에서 가능한 한 늦게 반대지점 $\displaystyle C$까지 가려면 $\displaystyle f(\theta)$의 최댓값을 구하면 된다. 따라서$\displaystyle f^{\prime}(\theta)=\frac15(-4\sin\theta+2)$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=0$이 되는 $\displaystyle \theta$의 값은 $\displaystyle 30^{\circ}$이다.