자연계열 1번

[1-i]$\displaystyle A(X+Y)=\begin{bmatrix}1&2\\4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\15\end{bmatrix},$$\displaystyle A(X)+A(Y)=\begin{bmatrix}1&2\\4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&2\\4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\10\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\15\end{bmatrix}$

[1-ii]임의의 실수 $\displaystyle c$에 대하여$\displaystyle A(cX)=\begin{bmatrix}1&2\\4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c\\2c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5c\\10c\end{bmatrix},\ cA(X)=c\begin{bmatrix}1&2\\4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=c\begin{bmatrix}5\\10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5c\\10c\end{bmatrix}$

[1-iii]$\displaystyle A(X)=\begin{bmatrix}1&2\\4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\10\end{bmatrix}$이고 $\displaystyle A(Y)=\begin{bmatrix}1&2\\4&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\5\end{bmatrix}$이다.$\displaystyle L$이 두 점 $\displaystyle X$와 $\displaystyle Y$를 연결하는 선분이므로 $\displaystyle L:cX+(1-c)Y,\ (0\le c\le1)$이며, $\displaystyle A(L)=A(cX+(1-c)Y)=cA(X)+(1-c)A(Y)$이다. 즉 $\displaystyle A(X)$와 $\displaystyle A(Y)$를 연결하는 선분이다. 따라서 $\displaystyle (5,10)$와 $\displaystyle (0,5)$를 연결하는 선분이다.