자연계 2교시 수학2

<제시문1>자연수 $\displaystyle n$에 대하여 다음이 성립한다.$\displaystyle \sum_{k=1}^nk=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$$\displaystyle \sum_{k=1}^nk^2=1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$

<제시문2>함수 $\displaystyle y=f(x)$는 $\displaystyle 0\le x\le2$일 때 $\displaystyle f(x)=1-|1-x|$를 만족하고, 음이 아닌 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x+2)=f(x)$를 만족한다. 이때, 아래 그림의 색칠한 부분과 같이 부등식 $\displaystyle \frac{x}{m}\le y\le f(x)$를 만족하는 제1사분면에 있는 점들의 집합을 $\displaystyle P$라 하고, 영역 $\displaystyle P$의 넓이를 $\displaystyle g(m)$이라고 하자. (단, $\displaystyle m>1$인 실수)

<제시문3>두 수열 $\displaystyle \{a_n\}$, $\displaystyle \{b_n\}$이 수렴하고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\beta$일 때, 수열 $\displaystyle \{c_n\}$이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n\le c_n\le b_n$이고 $\displaystyle \alpha=\beta$이면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$이다.