자연계열 1번

【문항 1】

✾ 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

어떤 생명체의 유전정보의 총체를 유전체(genome)라고 부른다. 인간의 유전체는 23개의 염색체로 이루어져 있으며 그 안의 유전정보는 DNA의 염기서열(base sequence)로 기록된다. 인간의 염색체는 한 개의 선형 DNA로 구성되어있는 반면 박테리아의 염색체는 한 개의 원형 DNA로 구성되어있다.

유전체 DNA의 염기서열을 알아내는 것은 생명 현상의 이해를 위해서 매우 중요한 일이다. 유전체 DNA의 염기 서열을 알아내기 위하여 인간 유전체사업(Human Genome Project)에서 사용한 방법은 다음과 같다.

먼저 동일한 염색체 DNA 여러 개를 각각 적절한 길이로 무작위로 잘라낸 다음, 염기서열분석기(DNA Sequencer)를 이용하여 잘라낸 DNA 조각의 양 끝의 염기 서열을 읽어낸다. 이렇게 읽어낸 DNA 조각들의 염기서열을 비교하여 서로 염기서열이 일치하는 부분을 찾고, 이를 바탕으로 DNA 조각들을 배열하여 유전체의 염기서열을 재구성한다. 예를 들어, 잘려진 DNA 조각 $\displaystyle S_{1}$, $\displaystyle S_{2}$, $\displaystyle S_{3}$에 대하여, $\displaystyle S_{i}$ 와 $\displaystyle S_{j}$의 염기서열 끝부분이 서로 일치한다면 행렬의 $\displaystyle (i, j)$ 성분을 1, 일치하지 않는다면 0으로 표시하여 만들어진 행렬이 다음과 같다고 하자.$\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}$

위의 내용으로부터, $\displaystyle S_{1}$, $\displaystyle S_{2}$, $\displaystyle S_{3}$이 다음과 같이 배열되어 있음을 알 수 있다.

이 배열은

의 형태로도 표현 할 수 있다.

논제 1. 인간의 같은 염색체에서 얻어진 DNA 조각을 $\displaystyle S_{1}$, $\displaystyle S_{2}$, $\displaystyle S_{3}$, $\displaystyle S_{4}$이라고 하자. $\displaystyle S_{1}$, $\displaystyle S_{2}$, $\displaystyle S_{3}$, $\displaystyle S_{4}$의 염기서열 일치 여부에 관한 정보로부터 다음 행렬이 만들어질 수 없음을 설명하시오.$\displaystyle \begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&1&1&0\\0&1&1&1\\1&0&1&1\end{pmatrix}$

논제 2. $\displaystyle n\times n$ 행렬 중 0과 1만을 성분으로 갖고 $\displaystyle 1\leq i\leq n$, $\displaystyle 1\leq j\leq n$인 $\displaystyle i$, $\displaystyle j$에 대하여 $\displaystyle (i,i)$ 성분이 1이며 $\displaystyle (i,j)$ 성분과 $\displaystyle (j,i)$성분이 같은 행렬을 ‘거울행렬’이라고 하자. 논제 1에서와 같이 $\displaystyle 4\times4$ 거울행렬 중에는 인간의 같은 염색체에서 얻어진 DNA 조각의 염기서열의 일치 여부에 관한 정보로부터 만들어 질 수 없는 행렬이 존재한다. 하지만 $\displaystyle 3\times3$ 거울행렬 중에는 그러한 행렬이 존재할 수 없음을 설명하시오.

논제 3. 인간의 같은 염색체에서 얻어진 $\displaystyle n$개의 DNA 조각을 $\displaystyle S_{1},~S_{2},~\cdots,S_{n}$ $\displaystyle (n\geq4)$이라고 하자. $\displaystyle S_{1},~S_{2},~\cdots,S_{n}$의 염기서열의 일치 여부에 관한 정보로부터 만들어 질 수 없는 거울행렬을 하나 택하여 그것을 $\displaystyle (i,j)$ 성분을 사용하여 표현하시오. (예를 들어, $\displaystyle \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$은 $\displaystyle 1\leq i\leq2$, $\displaystyle 1\leq j\leq2$인 $\displaystyle i$, $\displaystyle j$에 대하여 $\displaystyle (i,j)$ 성분이 1인 행렬로 표현할 수 있다.) 또한, 그 행렬이 염기서열의 일치 여부에 관한 정보로부터 만들어 질 수 없는 이유를 설명하시오.

논제 4. 인간의 같은 염색체에서 얻어진 DNA 조각을 $\displaystyle S_{1}$, $\displaystyle S_{2}$, $\displaystyle S_{3}$, $\displaystyle S_{4}$, $\displaystyle S_{5}$, $\displaystyle S_{6}$, $\displaystyle S_{7}$이라고 하자. 논제 3에서 찾은 행렬($\displaystyle n=7$)과 다르면서 $\displaystyle S_{1}$, $\displaystyle S_{2}$, $\displaystyle S_{3}$, $\displaystyle S_{4}$, $\displaystyle S_{5}$, $\displaystyle S_{6}$, $\displaystyle S_{7}$의 염기서열 일치 여부에 관한 정보로부터 만들어질 수 없는 거울행렬이 존재할 수 있는지에 대하여 논술하시오.(단, 논제 3에서 찾은 행렬의 i번째 행과 j번째 행, i번째 열과 j번째 열을 바꾸어 얻어지는 행렬은 같은 행렬로 간주한다.)