자연계열 4번

(가)여러 가지 자연현상 및 사회현상은 시간에 따라 변화하는 적절한 양과 그 양의 순간변화율(도함수) 등의 관계식으로 표현할 수 있다. 예를 들어 마찰이 없는 수평면 위에서 용수철에 의해 진동하는 질량 $\displaystyle m$인 물체의 운동을 기술해보자. $\displaystyle y$를 용수철 평형점으로부터의 변위(길이)라 하고 용수철 상수를 $\displaystyle k$라 하면 후크의 법칙에 의해 용수철이 물체에 가하는 힘은 $\displaystyle F=-ky$가 된다. 뉴턴의 운동방정식은 $\displaystyle F=ma$로 표시되는데 가속도 $\displaystyle a$는 속도 $\displaystyle v$의 도함수이고, 속도 $\displaystyle v$는 위치 $\displaystyle y$의 도함수이므로 $\displaystyle a=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right)$이고, $\displaystyle y$를 두 번 미분한 결과 $\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right)$, 즉 $\displaystyle y$의 이차 도함수를 $\displaystyle \frac{d^{2}y}{dt^{2}}$로 나타내면, 관계식$\displaystyle m\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+ky=0\qquad\text{-----(1)}$을 얻는다. ($\displaystyle y=f(t)$인 경우 $\displaystyle \frac{d^{2}y}{dt^{2}}$를 $\displaystyle f^{\prime\prime}(t)$로 쓰기도 한다.) 이와 같이 시간에 따라 변하는 양과 이의 도함수들 사이의 관계를 설정한 등식을 총칭하여 미분방정식이라 부른다.

상수 $\displaystyle a$에 대해$\displaystyle \frac{d\sin at}{dt}=a\cos at,~\frac{d\cos at}{dt}=-a\sin at$라는 사실을 이용하면, 함수 $\displaystyle y=\sin\sqrt{\frac{k}{m}}t$를 미분방정식 (1)에 대입했을 때 모든 $\displaystyle t$에 대해서 등호가 성립함을 쉽게 확인할 수 있다. 이 때, $\displaystyle y=\sin\sqrt{\frac{k}{m}}t$가 미분방정식 (1)을 ‘만족’시킨다고 말한다. 이와 같이 ‘주어진 미분방정식을 만족시키는 함수’를 그 미분방정식의 해라고 부른다.

논의를 진행하기 위하여 몇 가지 수학적 사실이 더 필요하다. 우선 수열 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right\}$이 수렴하며 그 극한값을 $\displaystyle e$로 나타내는데 약 $\displaystyle 2.71828$이다. $\displaystyle e$를 밑으로 하는 지수함수 $\displaystyle e^{t}$은 모든 실수 $\displaystyle t$에서 미분 가능하며, 임의의 상수 $\displaystyle a$에 대하여$\displaystyle \frac{de^{at}}{dt}=ae^{at}$이 성립한다.

자연현상을 설명하는 미분방정식은 그 해가 초기 조건(한 시점에서의 함수값, 도함수값 등)에 의하여 유일하게 결정된다. 구체적인 예를 들기 위해 아래 미분방정식을 살펴보기로 하자.$\displaystyle \frac{dy}{dt}=ay+b\qquad\text{-----(2)}$여기서 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$는 상수이다. 이 미분방정식의 해 $\displaystyle y=f(t)$가 초기값 $\displaystyle f(0)$에 의해 유일하게 결정됨을 확인해 보자. 이를 위하여 $\displaystyle f_{1}(t)$와 $\displaystyle f_{2}(t)$가 미분방정식 (2)의 해이고, 또한 $\displaystyle f_{1}$의 초기값 $\displaystyle f_{1}(0)$과 $\displaystyle f_{2}$의 초기값 $\displaystyle f_{2}(0)$이 같다고 하자. 이 때 함수 $\displaystyle g(t)$를 $\displaystyle g(t)=f_{1}(t)-f_{2}(t)$로 정의하면 $\displaystyle f_{1}(t)$와 $\displaystyle f_{2}(t)$가 미분방정식 (2)의 해라는 사실로부터 $\displaystyle g^{\prime}(t)=ag(t)$가 성립함을 알 수 있다. 보조함수 $\displaystyle h(t)$를 $\displaystyle h(t)=e^{-at}g(t)$로 정의하면 모든 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle h^{\prime}(t)=0$임을 확인할 수 있다. 따라서 $\displaystyle h(t)$는 상수함수가 되고, $\displaystyle g(0)=f_{1}(0)-f_{2}(0)=0$이므로 모든 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle h(t)=0$이 된다. 모든 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle e^{-at}$은 항상 양수이므로, $\displaystyle h(t)$의 정의로부터 $\displaystyle g(t)=0$이 모든 $\displaystyle t$에 대하여 성립하게 된다. 따라서 두 함수 $\displaystyle f_{1}(t)$와 $\displaystyle f_{2}(t)$는 같은 함수이다.

비슷한 방법으로 미분방정식 $\displaystyle \frac{d^{2}y}{dt^{2}}+y=0$의 해 $\displaystyle y=f(t)$가 $\displaystyle f(0)$, $\displaystyle f^{\prime}(0)$에 의해서 유일하게 결정됨도 보일 수 있다. 이와 같이 미분방정식의 해가 초기 조건에 의해 유일하게 결정되는 것을 통칭하여 미분방정식의 해의 유일성이라 한다.

(나)컴퓨터를 이용하여 미분방정식의 해를 근사적으로 구할 수 있는데, 가장 간단한 방법은 다음과 같다. 우선 $\displaystyle h$를 충분히 작은 양수로 택하고, $\displaystyle t_{0}=0$으로부터 일정한 간격으로 떨어진 $\displaystyle t_{0}=0$, $\displaystyle t_{1}=h$, $\displaystyle t_{2}=2h$, … $\displaystyle t_{n}=nh$, …을 고정하자. 이 $\displaystyle t_{0},t_{1},\cdots~t_{n},\cdots$을 격자점이라 부르는데, 우리는 이들 격자점 위에서 미분방정식의 해 $\displaystyle f(t)$의 값을 근사적으로 구하고자 한다.

$\displaystyle h$가 충분히 작으므로 도함수의 정의 $\displaystyle f^{\prime}(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}$에 의하여 $\displaystyle \frac{f(t+h)-f(t)}{h}$를 $\displaystyle f^{\prime}(t)$의 근사값으로 사용할 수 있다.

이제 미분방정식 (2)$\displaystyle \frac{dy}{dt}=ay+b$의 근사적 해법에 대하여 알아보자. 함수 $\displaystyle y=f(t)$가 초기 조건 $\displaystyle f(0)=y_{0}$을 만족시키는 미분방정식 (2)의 해라 하자. 위의 관찰로부터 $\displaystyle \frac{f(t_{n+1})-f(t_{n})}{h}$이 $\displaystyle f^{\prime}(t_{n})$의 근사값이고 $\displaystyle f^{\prime}(t_{n})=af(t_{n})+b$이므로, $\displaystyle \frac{f(t_{n+1})-f(t_{n})}{h}$이 $\displaystyle af(t_{n})+b$의 근사값이 된다. 따라서 $\displaystyle f(t_{n+1})$을 $\displaystyle (1+ah)f(t_{n})+bh$로 근사시킬 수 있다. 그러므로 $\displaystyle y_{1}$, $\displaystyle y_{2}$, …을 점화식$\displaystyle y_{n+1}=(1+ah)y_{n}+bh$및 초기 조건 $\displaystyle y_{0}=f(0)$을 이용하여 귀납적으로 정의하면, $\displaystyle n=1,2,3,\cdots$에 대하여 $\displaystyle y_{n}$은 $\displaystyle f(t_{n})$의 근사값이 된다.비슷한 방법으로 미분방정식 (3)$\displaystyle \frac{d^{2}y}{dt^{2}}+y=0$의 해의 근사값을 구할 수 있다. 이 때 $\displaystyle f^{\prime\prime}(t_{n})$의 근사값으로$\displaystyle \frac{f(t_{n+1})-2f(t_{n})+f(t_{n-1})}{h^{2}}$을 사용하는데, 그 이유는 다음 공식이 성립하기 때문이다.$\displaystyle \lim_{\Delta t\to0}\frac{f(t+\Delta t)-2f(t)+f(t-\Delta t)}{(\Delta t)^{2}}=f^{\prime\prime}(t)$

(다)위에서 본 바와 같이 미분방정식이 주어지면 그 해를 근사하는 적절한 점화식을 항상 찾을 수 있기 때문에 미분방정식 연구는 점화식 연구와 밀접한 관계가 있다. 우선 함수 $\displaystyle H(x)$를 이용하여 정의한 점화식$\displaystyle x_{n+1}=H(x_{n})$을 살펴보자. 초기값 $\displaystyle x_{0}$이 [예시그림 1]에 표시된 바와 같다고 하자. 다음 값 $\displaystyle x_{1}$은 $\displaystyle x_{1}=H(x_{0})$이 되는데 이 값이 [예시그림 1]의 $\displaystyle y$축에 표시되어 있다. 이 점으로부터 수평선을 직선 $\displaystyle y=x$와 만날 때까지 그으면 그 교점의 $\displaystyle x$좌표는 당연히 $\displaystyle x_{1}$이 되며, 이 값이 $\displaystyle x$축에 표시되어 있다. 이 $\displaystyle x_{1}$을 새로운 초기값으로 점화식을 다시 적용하면 다음 값 $\displaystyle x_{2}$는 $\displaystyle x_{2}=H(x_{1})$이 되며 이 값이 $\displaystyle y$축에 $\displaystyle x_{2}$로 표시되어 있다. 이 과정을 반복해서 [예시그림 1]에서와 같이 굵게 표시한 화살표들을 그릴 수 있다. 이와 같이 $\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\cdots$의 움직임에 관한 정보를 화살표들로 그린 것을 $\displaystyle x_{0}$에서 시작하는 거미줄그림이라 부른다.

만약 $\displaystyle x^{*}$가 $\displaystyle H(x^{*})=x^{*}$를 만족하면 이 $\displaystyle x^{*}$를 점화식 $\displaystyle x_{n+1}=H(x_{n})$의 부동점이라 부른다. [예시그림 1]에서 볼 수 있듯이 $\displaystyle x^{*}$는 $\displaystyle y=H(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=x$가 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표이다. $\displaystyle x^{*}$가 점화식 $\displaystyle x_{n+1}=H(x_{n})$의 부동점일 때, $\displaystyle x^{*}$를 포함하는 적절한 개구간을 잡아서 그 개구간에 속하는 모든 $\displaystyle c$에 대하여 $\displaystyle x_{0}=c$, $\displaystyle x_{n+1}=H(x_{n})$으로 정의된 수열 $\displaystyle \{x_{n}\}$이 $\displaystyle x^{*}$로 수렴하도록 할 수 있으면, $\displaystyle x^{*}$를 안정성을 가진 부동점 또는 줄여서 안정부동점이라 부른다. [예시그림 1]의 경우 $\displaystyle x^{*}$는 안정부동점이다. 안정부동점이 아닌 부동점을 불안정부동점이라 부른다.

(라)$\displaystyle r$을 양의 상수라 하고 $\displaystyle f(x)=rx(1-x)$라 하자. 그리고 $\displaystyle 0<c<1$에 대하여 점화식 $\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})=rx_{n}(1-x_{n})$ 및 초기값 $\displaystyle x_{0}=c$로 정의된 수열$\displaystyle \{x_{n}\}$의 행동을 살펴보기로 하자. 앞으로 이 수열을 $\displaystyle c$에서 출발한 수열이라 부르자. 또한 $\displaystyle c$를 $\displaystyle \{x_{n}\}$의 출발점이라 하자.

[예시그림 2]는 $\displaystyle r=2.8$일 때 거미줄그림의 예를 보여주고 있다. 이 그림을 통하여 0과 1 사이에 있는 모든 $\displaystyle c$에 대해서 $\displaystyle c$에서 출발한 수열이 부동점 $\displaystyle x^{*}$로 수렴함을 볼 수 있다. [예시그림 3]은 $\displaystyle r=3.4$인 경우를 보여주고 있는데, 그 특징은 특별한 점 $\displaystyle x_{0}$과 $\displaystyle x_{1}$이 존재해서 $\displaystyle x_{0}$에서 출발한 수열이 $\displaystyle x_{1}$으로 간 후 다시 $\displaystyle x_{0}$으로 돌아오는 주기 2의 주기적 패턴을 보이고 있다는 것이다.

이제 상수 $\displaystyle r$의 값을 $\displaystyle 3.4$에서 점차 증가시키면 $\displaystyle 4$, $\displaystyle 8$, $\displaystyle 16$, $\displaystyle 32$ 등의 $\displaystyle 2^{n}$ $\displaystyle (n=2,3,\cdots)$을 주기로 갖는 주기점들이 점차적으로 출현한다. 그리고 $\displaystyle r$이 약 $\displaystyle 3.57$을 넘게 되면, 소위 카오스 현상이 나타난다. 아래의 <예시표 1>은 이 카오스 현상에 대한 이해를 돕기 위한 것으로 상수 $\displaystyle r$값을 $\displaystyle 3.79$, $\displaystyle 3.80$, $\displaystyle 3.81$로 주고, 이 각각의 경우에 대하여 $\displaystyle 0.2999$, $\displaystyle 0.3000$, $\displaystyle 0.3001$에서 출발한 수열의 $\displaystyle x_{600}$값을 컴퓨터로 계산한 결과이다.

이 표에서 출발점의 미소한 변화가 시간이 흐른 후에는 큰 차이를 가져옴을 관찰할 수 있다. 또한 상수 $\displaystyle r$을 근소하게 변화시켜도 결과값에 큰 차이가 나타나는 것을 확인할 수 있다. 이와 같이 출발점의 미소한 차이에 대해 큰 변화를 보이는 것이 카오스 현상의 주요한 특징이다. 또한 카오스 현상은 대부분의 출발점 $\displaystyle c$에 대해 $\displaystyle c$에서 출발한 수열이 매우 불규칙해진다는 특징을 가진다. 이러한 카오스 현상은 점화식으로 주어진 수열뿐만 아니라 자연현상에서 도출된 많은 미분방정식들에서도 나타나는데 이 현상은 흥미로움을 넘어 자연현상의 이해에 새로운 도전의 장을 열어주고 있다.