논술 미분방정식

＊미분방정식

맬서스와 로지스틱 성장 모형에서는 인구와 그 변화율의 관계에서 출발하여 인구를 시간의 함수로 구했다.이처럼 미지의 함수와 그 도함수 사이의 관계를 나타낸 방정식을 미분방정식이라 한다.주어진 구간에서 이 관계를 만족시키는 함수가 그 방정식의 해이다.한 점에서의 함수값이나 도함수값을 지정한 조건을 초기조건이라 한다.

＊변수분리

미분방정식이 $\displaystyle y^{\prime}=a(x)b(y)$의 꼴이면,$\displaystyle b(y)\ne0$인 구간에서 다음과 같이 변형한다.$\displaystyle \frac{y^{\prime}}{b(y)}=a(x)$양변을 $\displaystyle x$에 대하여 적분하고 왼쪽에 치환적분을 적용하면$\displaystyle \int\frac{1}{b(y)}\,dy=\int a(x)\,dx$이다. 이 관계에서 함수를 구하고 초기조건으로 적분상수를 정한다.

$\displaystyle b(y)$로 나누기 전에 $\displaystyle b(c)=0$인 상수 $\displaystyle c$가 있는지 확인한다.상수함수 $\displaystyle y=c$도 원래 방정식의 해이지만, 나누는 과정에서 빠질 수 있다.

＊적분인자

$\displaystyle p,q$가 연속인 구간에서 일차 선형 미분방정식$\displaystyle y^{\prime}+p(x)y=q(x)$을 생각하자. $\displaystyle P^{\prime}(x)=p(x)$인 함수 $\displaystyle P$를 잡고양변에 $\displaystyle e^{P(x)}$를 곱하면 곱의 미분법에 의해$\displaystyle \left(e^{P(x)}y\right)^{\prime}=e^{P(x)}q(x)$이다. 따라서$\displaystyle y=e^{-P(x)}\left(\int e^{P(x)}q(x)\,dx+C\right)$로 구할 수 있다. 곱의 미분 꼴을 만들기 위해 곱한 $\displaystyle e^{P(x)}$를 적분인자라 한다.

＊뉴턴의 냉각법칙

물체의 온도 변화율이 물체와 주위의 온도 차에 비례한다고 보는 모형이다.시각 $\displaystyle t$에서 물체의 온도를 $\displaystyle T(t)$, 일정한 주위 온도를 $\displaystyle A$라 하면$\displaystyle T^{\prime}(t)=-k\left(T(t)-A\right)\qquad(k>0)$이다. 물체가 주위보다 뜨거우면 온도가 내려가고,주위보다 차가우면 온도가 올라간다.

＊냉각법칙의 해

주위와의 온도 차를 $\displaystyle U(t)=T(t)-A$라 하면$\displaystyle U^{\prime}=-kU$이므로 $\displaystyle U(t)=U(0)e^{-kt}$이다. 따라서$\displaystyle T(t)=A+\left(T(0)-A\right)e^{-kt}$를 얻는다. 온도 자체가 아니라 주위와의 온도 차가 지수적으로 줄어든다.

＊같은 시간 간격의 온도 변화

일정한 시간 간격 $\displaystyle h>0$에 대하여$\displaystyle T(t+h)-A=e^{-kh}\left(T(t)-A\right)$이다. 따라서 같은 간격으로 관측한 온도에서 $\displaystyle A$를 뺀 값들은공비가 $\displaystyle e^{-kh}$인 등비수열을 이룬다.여러 시점의 온도를 알면 이 관계로 주위 온도 $\displaystyle A$와 상수 $\displaystyle k$를 구할 수 있다.

＊이계도함수가 주어진 경우

$\displaystyle f^{\prime\prime}=f$이면 $\displaystyle u=f^{\prime}+f$로 놓아$\displaystyle u^{\prime}=f^{\prime\prime}+f^{\prime}=f+f^{\prime}=u$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle u=Ce^x$이고,$\displaystyle f^{\prime}+f=Ce^x$에 적분인자 $\displaystyle e^x$를 곱하면$\displaystyle (e^xf)^{\prime}=Ce^{2x}$이다. 적분상수를 다시 정리하면$\displaystyle f(x)=Ae^x+Be^{-x}$를 얻는다. 이렇게 도함수와 함수의 적절한 조합으로 미분 횟수를 낮출 수 있다.

＊미분값이 0인 양

두 함수가 $\displaystyle f^{\prime}=g$, $\displaystyle g^{\prime}=-f$를 만족하면$\displaystyle (f^2+g^2)^{\prime}=2ff^{\prime}+2gg^{\prime}=2fg-2gf=0$이므로 $\displaystyle f^2+g^2$은 상수이다.함수를 각각 구하지 않아도 초기값으로 이 상수를 정하여 필요한 관계를 얻을 수 있다.

＊해의 유일성

같은 초기조건을 만족하는 두 해가 반드시 같은 함수임을 보이는 것이 해의 유일성을 증명하는 일이다.방정식의 형태와 조건을 확인하여 증명해야 한다.

$\displaystyle f^{\prime\prime}+f=0$의 두 해가 $\displaystyle x=0$에서 함수값과 도함수값이 모두 같다고 하자.두 해의 차를 $\displaystyle w$라 하면$\displaystyle w^{\prime\prime}+w=0,\qquad w(0)=w^{\prime}(0)=0$이다. 이때$\displaystyle \left(w^2+(w^{\prime})^2\right)^{\prime}=2w^{\prime}(w+w^{\prime\prime})=0$이므로 $\displaystyle w^2+(w^{\prime})^2$은 항상 초기값 $\displaystyle 0$과 같다.따라서 $\displaystyle w=0$, 즉 두 해는 같은 함수이다.

$\displaystyle A\cos x+B\sin x$는 위 방정식을 만족하고,$\displaystyle x=0$에서의 함수값과 도함수값은 각각 $\displaystyle A,B$이다.앞의 유일성에 의해 이 초기조건을 만족하는 해는$\displaystyle f(x)=A\cos x+B\sin x$로 결정된다.

＊근사해와 점화식

미분계수를 차분으로 근사하면 미분방정식을 점화식으로 바꿀 수 있다.$\displaystyle y^{\prime}=F(x,y)$에서 간격 $\displaystyle h>0$을 잡고 $\displaystyle x_n=x_0+nh$라 하자.$\displaystyle y(x_n)$의 근삿값을 $\displaystyle y_n$이라 하면$\displaystyle \frac{y_{n+1}-y_n}{h}\approx F(x_n,y_n)$을 이용하여$\displaystyle y_{n+1}=y_n+hF(x_n,y_n)$으로 근삿값을 차례로 구한다. 현재 점의 접선 방향으로 한 걸음씩 이동하는 방법이다.

$\displaystyle y^{\prime\prime}+y=0$에서는 이계도함수의 근사식$\displaystyle y^{\prime\prime}(x_n)\approx\frac{y_{n+1}-2y_n+y_{n-1}}{h^2}$을 대입하여$\displaystyle y_{n+1}=(2-h^2)y_n-y_{n-1}\qquad(n\ge1)$을 얻는다. 초기값 $\displaystyle y_0=y(x_0)$과, 접선 근사로 정한$\displaystyle y_1=y_0+h\,y^{\prime}(x_0)$에서 시작할 수 있다. 여기서 점화식의 등호는 근삿값 사이의 관계이며,실제 해의 함수값과 정확히 같다는 뜻은 아니다.