수학 A 1번

1–1. 오른쪽 이동을 $\displaystyle H$, 위쪽 이동을 $\displaystyle U$라 하면, 각 경로는 $\displaystyle H$와 $\displaystyle U$가 각각 $\displaystyle n$개인 배열과 같다.따라서 전체 경로의 수는 $\displaystyle N={}_{2n}\mathrm{C}_n$이다.$\displaystyle L=k\ge1$인 경로에서 좌회전하는 점을 순서대로 $\displaystyle (x_1,y_1),\ldots,(x_k,y_k)$라 하면$\displaystyle 1\le x_1<\cdots<x_k\le n$, $\displaystyle 0\le y_1<\cdots<y_k\le n-1$이다.

거꾸로, 위 조건을 만족하는 두 좌표열을 고르면 경로가 하나로 정해진다.원점에서 먼저 위로, 다음으로 오른쪽으로 움직여 첫 좌회전점에 이르고,이후에도 위로 움직인 다음 오른쪽으로 움직여 다음 좌회전점에 이른다.마지막 좌회전점에서는 위로 움직여 높이 $\displaystyle n$에 이른 다음 오른쪽으로 움직여 $\displaystyle (n,n)$에 이른다.처음의 위쪽 이동과 마지막의 오른쪽 이동은 없을 수도 있다.따라서 $\displaystyle L=k$인 경로의 수는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_k^2$이다.$\displaystyle k=0$일 때는 위로 $\displaystyle n$번 움직인 뒤 오른쪽으로 $\displaystyle n$번 움직이는 경로 하나뿐이므로, 모든 $\displaystyle 0\le k\le n$에 대하여$\displaystyle \mathrm{P}(L=k)=\frac{{}_{n}\mathrm{C}_k^2}{{}_{2n}\mathrm{C}_n}$.

1–2. $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_k={}_{n}\mathrm{C}_{n-k}$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(L=k)=\mathrm{P}(L=n-k)$이다.따라서$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{E}(L)&=\sum_{k=0}^n k\,\mathrm{P}(L=k)\\&=\sum_{k=0}^n(n-k)\,\mathrm{P}(L=k)=n-\mathrm{E}(L)\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \mathrm{E}(L)=\frac n2$이다.

$\displaystyle n\ge2$라 하자. 각 경로에서 서로 다른 좌회전 두 곳을 골라 첫째 표시와 둘째 표시를 붙인다.좌회전이 $\displaystyle k$번인 경로에서는 $\displaystyle k(k-1)$가지로 표시할 수 있다.좌회전을 이루는 두 이동 $\displaystyle HU$는 서로 겹칠 수 없으므로, 표시한 두 쌍을 각각 새로운 기호 $\displaystyle B_1$, $\displaystyle B_2$ 하나로 묶는다.그러면 $\displaystyle H$와 $\displaystyle U$가 각각 $\displaystyle n-2$개이고 $\displaystyle B_1$, $\displaystyle B_2$가 하나씩인 배열이 되며, 이 과정은 거꾸로도 가능하다.따라서$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{E}\{L(L-1)\}&=\frac1N\sum_{k=0}^n k(k-1){}_{n}\mathrm{C}_k^2\\&=\frac{(2n-2)!}{(n-2)!^2}\frac{n!^2}{(2n)!}\\&=\frac{n(n-1)^2}{2(2n-1)}.\end{aligned}$

이로부터$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{E}(L^2)&=\mathrm{E}\{L(L-1)\}+\mathrm{E}(L)\\&=\frac{n(n-1)^2}{2(2n-1)}+\frac n2=\frac{n^3}{2(2n-1)},\\\mathrm{V}(L)&=\mathrm{E}(L^2)-\{\mathrm{E}(L)\}^2\\&=\frac{n^3}{2(2n-1)}-\frac{n^2}{4}=\frac{n^2}{4(2n-1)}.\end{aligned}$$\displaystyle n=1$일 때도 $\displaystyle L$은 $\displaystyle 0$, $\displaystyle 1$을 각각 확률 $\displaystyle \frac12$로 가지므로 위 기댓값과 분산의 식이 성립한다.따라서 구하는 극한값은$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\mathrm{V}(L)}{\mathrm{E}(L)}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2(2n-1)}=\frac14$이다.

1–3. 좌회전과 우회전은 번갈아 나타난다.처음과 끝의 이동 방향이 같으면 두 회전의 횟수가 같고,처음이 $\displaystyle H$, 끝이 $\displaystyle U$이면 좌회전이 한 번 더 많으며, 처음이 $\displaystyle U$, 끝이 $\displaystyle H$이면 우회전이 한 번 더 많다.따라서 $\displaystyle L-R$이 가질 수 있는 값은 $\displaystyle -1,0,1$뿐이다.오른쪽으로 $\displaystyle n$번 움직인 다음 위로 $\displaystyle n$번 움직이면 $\displaystyle L-R=1$이고, 두 방향을 바꾸면 $\displaystyle L-R=-1$이다.또 $\displaystyle n\ge2$이므로 오른쪽으로 $\displaystyle n-1$번, 위로 $\displaystyle n$번, 오른쪽으로 한 번 움직이는 경로에서 $\displaystyle L-R=0$이다.따라서 구하는 정수는 $\displaystyle m=-1,0,1$이다.

1–4. 모든 $\displaystyle H$와 $\displaystyle U$를 서로 바꾸면 처음이 $\displaystyle H$인 경로와 처음이 $\displaystyle U$인 경로가 일대일로 대응한다.따라서 처음 이동이 각 방향일 확률은 $\displaystyle \frac12$이다.처음 이동이 $\displaystyle H$로 정해지면 나머지 $\displaystyle 2n-1$자리에는 $\displaystyle H$가 $\displaystyle n-1$개, $\displaystyle U$가 $\displaystyle n$개 놓인다.이 자리들은 대칭이므로 마지막이 $\displaystyle U$일 확률은 $\displaystyle \frac{n}{2n-1}$이다.따라서$\displaystyle p(1)=\frac12\cdot\frac{n}{2n-1}=\frac{n}{2(2n-1)}$.모든 이동 방향을 바꾸면 $\displaystyle L-R$의 부호가 바뀌므로 $\displaystyle p(-1)=p(1)$이다.

나머지 경우에는 처음과 끝의 방향이 같으므로$\displaystyle \begin{aligned}p(0)&=1-p(1)-p(-1)\\&=1-\frac{n}{2n-1}=\frac{n-1}{2n-1}.\end{aligned}$따라서 $\displaystyle p(-1)=p(1)=\frac{n}{2(2n-1)}$, $\displaystyle p(0)=\frac{n-1}{2n-1}$이다.