수학 B 1번

1-1. $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle R(-s)=R(s)$이다.$\displaystyle y=1$ 위에 있는 석상 부분은 밑변의 길이가 $\displaystyle 1$, 높이가 $\displaystyle 1$인 삼각형이므로 넓이가 $\displaystyle \frac12$이다.이 부분만 감지센서영역과 겹칠 수 있고, $\displaystyle |s|\ge1$이면 겹치는 넓이는 $\displaystyle 0$이다.

(i) $\displaystyle 0\le s\le\frac12$이라 하자.직선 $\displaystyle y=1$이 석상의 두 변과 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle s-\frac12$, $\displaystyle s+\frac12$이다.감지센서영역의 두 변 $\displaystyle y=1-x$, $\displaystyle y=1+x$가 잘라 내는 두 삼각형의 밑변과 높이는 각각$\displaystyle \frac{1-2s}{2}$, $\displaystyle \frac{1-2s}{3}$ 및 $\displaystyle \frac{1+2s}{2}$, $\displaystyle \frac{1+2s}{3}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}R(s)&=\frac12-\frac{(1-2s)^2}{12}-\frac{(1+2s)^2}{12}\\&=\frac{1-2s^2}{3}.\end{aligned}$

(ii) $\displaystyle \frac12\le s\le1$이라 하자.겹치는 부분은 꼭짓점 $\displaystyle (s,2)$와 직선 $\displaystyle y=x+1$ 위의 두 점 $\displaystyle (2s-1,2s)$, $\displaystyle \left(\frac{2s+1}{3},\frac{2s+4}{3}\right)$으로 이루어진 삼각형이다.직선 $\displaystyle y=x+1$ 위의 변의 길이는 $\displaystyle \frac{4\sqrt2}{3}(1-s)$이고, 이 변에 대한 높이는 $\displaystyle \frac{1-s}{\sqrt2}$이므로$\displaystyle R(s)=\frac12\cdot\frac{4\sqrt2}{3}(1-s)\cdot\frac{1-s}{\sqrt2}=\frac23(1-s)^2$.

따라서$\displaystyle R(s)=\begin{cases}0&(|s|\ge1),\\\frac23(1-|s|)^2&(\frac12\le|s|\le1),\\\frac{1-2s^2}{3}&(|s|\le\frac12).\end{cases}$그래프는 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이고, $\displaystyle (-1,0)$, $\displaystyle \left(-\frac12,\frac16\right)$, $\displaystyle \left(0,\frac13\right)$, $\displaystyle \left(\frac12,\frac16\right)$, $\displaystyle (1,0)$을 지난다.가운데 구간은 위로 볼록하고, 양쪽의 나머지 곡선은 아래로 볼록하다. $\displaystyle |s|\ge1$에서는 $\displaystyle s$축과 일치한다.

1-2. 각 구간에서 미분하면$\displaystyle R^{\prime}(s)=\begin{cases}0&(s\le-1\ \text{또는}\ s\ge1),\\\frac43(1+s)&(-1\le s\le-\frac12),\\-\frac43s&(-\frac12\le s\le\frac12),\\\frac43(s-1)&(\frac12\le s\le1).\end{cases}$

접합점 $\displaystyle s=-1,-\frac12,\frac12,1$에서 양쪽 식의 함수값이 각각 $\displaystyle 0,\frac16,\frac16,0$으로 같고,좌미분계수와 우미분계수도 각각 $\displaystyle 0,\frac23,-\frac23,0$으로 같다.따라서 $\displaystyle R(s)$는 모든 실수 $\displaystyle s$에서 미분가능하며, 접합점에서도 위의 도함수 식이 성립한다.

1-3. $\displaystyle R(s)$의 최댓값이 $\displaystyle \frac13$이므로 $\displaystyle k>\frac13$이면 빨간불이 들어오지 않는다.$\displaystyle 0<k\le\frac13$일 때 빨간불이 들어오는 위치는 $\displaystyle -a\le s\le a$이고, $\displaystyle R(a)=k$이다.속력이 $\displaystyle 1$이므로 빨간불이 유지되는 시간을 $\displaystyle T(k)$라 하면$\displaystyle T(k)=2a=\begin{cases}2-\sqrt{6k}&(0<k\le\frac16),\\\sqrt{2-6k}&(\frac16\le k\le\frac13).\end{cases}$$\displaystyle k=\frac13$에서는 한 위치에서만 불이 들어오므로 유지 시간은 $\displaystyle 0$이다.

(i) $\displaystyle 0<k\le\frac16$일 때$\displaystyle 6kT(k)=12k-6\sqrt6\,k^{3/2}$이고, 이를 미분하면 $\displaystyle 12-9\sqrt{6k}\ge3>0$이다.따라서 $\displaystyle 6kT(k)\le6\cdot\frac16\cdot T\left(\frac16\right)=1$이고, 등호는 $\displaystyle k=\frac16$일 때만 성립한다.이 구간에서 $\displaystyle T(k)\ge\frac1{6k}$를 만족하는 값은 $\displaystyle k=\frac16$이다.

(ii) $\displaystyle \frac16\le k\le\frac13$일 때 경보가 울릴 조건은$\displaystyle \begin{aligned}6k\sqrt{2-6k}\ge1&\ \Longleftrightarrow\ 216k^3-72k^2+1\le0\\&\ \Longleftrightarrow\ (6k-1)(36k^2-6k-1)\le0.\end{aligned}$양변이 음수가 아닌 부등식을 제곱한 것이므로 동치이고,이 구간에서 부등식의 해는 $\displaystyle \frac16\le k\le\frac{1+\sqrt5}{12}$이다.따라서 구하는 범위는 $\displaystyle \boxed{\frac16\le k\le\frac{1+\sqrt5}{12}}$이다.양 끝에서도 유지 시간이 $\displaystyle \frac1{6k}$와 같으므로 경보가 울린다.

1-4. 속력이 $\displaystyle v$이면 같은 구간을 통과하는 시간이 $\displaystyle T(k)/v$로 바뀌므로경보가 울릴 조건은 $\displaystyle T(k)/v\ge1/(6k)$, 즉 $\displaystyle v\le6kT(k)$이다.따라서 센서계수와 관계없이 경보가 울리지 않으려면$\displaystyle v>\max_{0<k\le1/3}6kT(k)$이어야 한다.

$\displaystyle 0<k\le\frac16$에서 $\displaystyle 6kT(k)$의 최댓값은 $\displaystyle 1$이다.$\displaystyle \frac16\le k\le\frac13$에서 $\displaystyle H(k)=6k\sqrt{2-6k}$라 하면$\displaystyle H^{\prime}(k)=\frac{12-54k}{\sqrt{2-6k}}\quad\left(\frac16<k<\frac13\right)$이므로$\displaystyle H(k)$는 $\displaystyle k=\frac29$에서 최댓값$\displaystyle H\left(\frac29\right)=\frac43\sqrt{\frac23}=\frac{4\sqrt6}{9}$를 갖는다.이는 $\displaystyle 1$보다 크므로 구하는 범위는 $\displaystyle \boxed{v>\frac{4\sqrt6}{9}}$이다.$\displaystyle v=\frac{4\sqrt6}{9}$이면 $\displaystyle k=\frac29$에서 빨간불이 $\displaystyle \frac34=\frac1{6k}$초 유지되어 경보가 울리므로 경계값을 포함하지 않는다.