수학 C 1번

1-1. 오른쪽 이동을 $\displaystyle H$, 위쪽 이동을 $\displaystyle U$라 하면, 각 경로는 $\displaystyle H$와 $\displaystyle U$가 각각 $\displaystyle n$개인 배열과 같다.따라서 전체 경로의 수는 $\displaystyle N={}_{2n}\mathrm{C}_n$이다.$\displaystyle L=k\ge1$인 경로의 좌회전점을 순서대로 $\displaystyle (x_1,y_1),\ldots,(x_k,y_k)$라 하면$\displaystyle 1\le x_1<\cdots<x_k\le n$, $\displaystyle 0\le y_1<\cdots<y_k\le n-1$이다.

이 두 좌표열을 고르면 경로는 하나로 정해진다.원점에서 위로 움직인 다음 오른쪽으로 움직여 첫 좌회전점에 이르고,각 좌회전점에서도 위로 움직인 다음 오른쪽으로 움직여 다음 좌회전점에 이른다.마지막 좌회전점에서는 위로 움직여 높이 $\displaystyle n$에 이른 다음 오른쪽으로 움직여 $\displaystyle (n,n)$에 이른다.처음의 위쪽 이동과 마지막의 오른쪽 이동은 없을 수도 있다.따라서 $\displaystyle L=k$인 경로는 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_k^2$개이다.$\displaystyle k=0$일 때는 위로 $\displaystyle n$번 움직인 뒤 오른쪽으로 $\displaystyle n$번 움직이는 경로 하나뿐이므로, 모든 $\displaystyle 0\le k\le n$에 대하여$\displaystyle \mathrm{P}(L=k)=\frac{{}_{n}\mathrm{C}_k^2}{{}_{2n}\mathrm{C}_n}$.

1-2. $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_k={}_{n}\mathrm{C}_{n-k}$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(L=k)=\mathrm{P}(L=n-k)$이다.따라서$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{E}(L)&=\sum_{k=0}^n k\,\mathrm{P}(L=k)\\&=\sum_{k=0}^n(n-k)\,\mathrm{P}(L=k)=n-\mathrm{E}(L)\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \mathrm{E}(L)=\frac n2$이다.

1-3. 좌회전과 우회전은 번갈아 나타난다.처음이 $\displaystyle H$이고 끝이 $\displaystyle U$이면 좌회전이 한 번 더 많고, 처음이 $\displaystyle U$이고 끝이 $\displaystyle H$이면 우회전이 한 번 더 많다.처음과 끝의 방향이 같을 때에만 두 회전의 횟수가 같다.따라서 $\displaystyle L=R$인 사건은 처음과 끝의 이동 방향이 같은 사건과 같다.

모든 $\displaystyle H$와 $\displaystyle U$를 서로 바꾸는 대응에 의해 처음이 각 방향일 확률은 $\displaystyle \frac12$이다.처음이 $\displaystyle H$로 정해졌을 때, 나머지 $\displaystyle 2n-1$자리 중 $\displaystyle n-1$자리에 $\displaystyle H$가 놓이므로 마지막도 $\displaystyle H$일 확률은 $\displaystyle \frac{n-1}{2n-1}$이다.처음이 $\displaystyle U$로 정해졌을 때 마지막도 $\displaystyle U$일 확률 역시 같다.따라서$\displaystyle \mathrm{P}(L=R)=\frac12\cdot\frac{n-1}{2n-1}+\frac12\cdot\frac{n-1}{2n-1}=\frac{n-1}{2n-1}$.