자연계열 1번

인간은 원래 숫자를 헤아리는 능력을 타고난 존재였다. 그래서 그들은 선사시대부터 자연수 $\displaystyle \mathbb N$을 알고 있었다. 그러나 $\displaystyle \mathbb N$에는 금지 조항이 있었다. ‘작은 수에서 큰 수를 뺄 수 없다’는 조항이 바로 그것이었다. 그런데 기술이 발전하면서 이 금지 조항은 커다란 장애가 되었다. 어제 기온이 5도였는데 오늘은 8도 떨어졌다면, 오늘의 기온은 몇 도라고 해야 하는가? $\displaystyle \mathbb N$에 속하는 숫자만으로는 표현할 방법이 없었다. 학자들은 이 해결책을 연구하던 끝에 음수라는 개념을 개발했고, 0의 사용을 제안함으로써 모든 문제는 해결된 것 같았다. 음의 정수와 양의 정수, 그리고 0으로 이루어진 숫자 체계에는 정수 $\displaystyle \mathbb Z$라는 이름이 붙여졌다. 그런데 얼마 가지 않아 $\displaystyle \mathbb Z$에도 한계가 있음이 밝혀졌다. 어떤 정수를 그것의 약수가 아닌 수로 나눴더니 당장 문제가 발생한 것이었다. 이것은 측정 기술이 발달하면서 더욱 큰 문제점으로 부각되었다. 이때 개발된 새로운 숫자가 바로 분수였다. 기존의 정수에 분수를 첨가한 새로운 수 체계는 유리수 $\displaystyle \mathbb Q$로 표기되었다. 그렇지만 $\displaystyle \mathbb Q$마저 금방 바닥을 드러내고 말았다. 유리수 길이의 변을 가지는 정사각형의 대각선은 유리수 길이를 가지지 않음이 증명되었고, 이와 같은 유리수의 한계는 여러 종류의 기하학적 구조에서 계속 나타났으며, 이보다 더 중요한 이유는 $\displaystyle \mathbb Q$만으로는 무한수열 또는 무한급수의 수렴 값을 표현할 수 없었던 것이다. 과학이 더욱 발달하여 미적분의 개념이 적용되면서 $\displaystyle \mathbb Q$는 수시로 과학의 발목을 잡았다. 이때 도입된 수가 바로 무리수였다. 기존의 유리수에 무리수를 첨가한 새로운 수 체계는 실수 $\displaystyle \mathbb R$로 표시되었다. 그 이후, 음수의 제곱근이 필요해진 수학자들은 결국 허수라는 새로운 수를 또 다시 개발하여 기존의 수 체계에 포함시켰다. 허수란 음수의 제곱근을 뜻한다. 실수에 허수를 첨가하여 범위가 더욱 넓어진 수 체계에는 복소수 $\displaystyle \mathbb C$라는 이름이 붙여졌다.Note. 실수 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$에 대하여 $\displaystyle a+bi$ 꼴로 나타내는 수를 복소수라 한다. 이 중 $\displaystyle b\ne0$인 수를 허수라 하고, $\displaystyle a=0$, $\displaystyle b\ne0$인 수를 순허수라 한다.Caution. 허수의 실수부가 반드시 0인 것은 아니다: $\displaystyle -4$의 제곱근인 $\displaystyle 2i$와 $\displaystyle -2i$는 실수부가 $\displaystyle 0$인 순허수이다. 한편 $\displaystyle 1+i$도 허수이지만 실수부가 $\displaystyle 1$이므로 순허수가 아니다. 제시문에서 ‘음수의 제곱근’이라고 설명한 것은 허수 중 순허수에만 해당한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

위의 내용은 가상의 역사일 뿐이다. 실제의 수는 이렇게 순차적으로 개발되지 않았다. 발견된 순서로만 나열한다면 $\displaystyle \mathbb N,\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb Z,\mathbb C$가 되어야 한다. 자연수가 선사시대부터 있었던 것은 사실이다. 그 후 이집트인들이 기원전 3,000년경에 분수를 개발했고, 무리수는 기원전 600년경에 그리스에서 피타고라스와 그의 제자들에 의해 우연히 발견되었다. 그리스인들은 0이란 숫자를 사용하지 않았다. 그들은 계산할 때의 0의 편리함을 알고 있었지만, 0을 고유한 수로 받아들이길 거부했다. 그리스인들이 0을 거부하게 된 이유 중 큰 부분은 0이라는 개념이 당시의 기본적인 철학적 믿음과 상충되었기 때문이었다. 이 개념들은 바로 무(無)와 무한(無限)이었다. 아리스토텔레스는 0을 가리켜 ‘규칙에서 벗어난 수’라고 하였으며, 훗날 오랫동안 지배해 온 아리스토텔레스의 수리철학을 위태롭게 한 것은 바로 이 두 가지 개념들이었다. 이 난점은 6∼7세기가 되어서야 인도의 수학자들에 의하여 비로소 해결되었으며, 0이라는 숫자가 본격적으로 사용된 것도 이 무렵이다. 음수는 16세기 르네상스 시대에 와서 셈을 하는 과정에서 등장하였으며, 복소수가 도입된 것은 17세기의 일이다.