자연계열 1번

[가] 다른 사람들과 마찬가지로 수학자들은 창의적인 아이디어를 매우 소중히 여긴다. 특히 독창적인 그림에 대해서는 큰 즐거움을 느낀다. 그러나 이러한 타당한 인식도 일반적인 회의론을 압도하지는 못한다. 왜냐하면 도식은 기껏해야 특수한 경우이므로 일반적 정리를 증명할 수 없다는 것이다. 뿐만 아니라 심지어는 터무니없는 결과를 낳기도 한다는 것이다. 보편적으로는 아니지만 이에 대한 일반적인 관점은 그림은 발견적 도구 이상의 그 무엇이 아니라는 것이다. 즉 그림은 심리적으로 암시적이고 교육학적으로 중요하지만, 무엇을 증명하지는 못한다는 것이다. 나는 이 견해에 반대하며 (a) 그림이 발견적인 역할을 훨씬 넘어서는 증거와 정당화로서의 진정한 역할을 한다고 주장한다. 간단히 말하자면 그림은 정리를 증명할 수 있다.

[나] 대부분의 철학자들이 그림을 사용하지 않는 것은 이상한 일이다. 비트겐슈타인은 예외인데 그의 저작들은 스케치와 도식으로 채워져 있다. 비트겐슈타인은 어떤 그림이 이것 또는 저것을 증명한다고 자주 예를 든다. 그는 『수학의 기초에 관한 관찰』이라는 저서의 한 곳에서 ‘수학은 증명에 관한 테크닉의 잡다한 집합체이다’라고 말했다. 이것이 시사 하는바는 (b) 수학에는 말과 기호를 사용한 증명뿐 아니라 그림을 이용한 것도 있다는 것을 의미한다. 이것은 아주 옳은 견해라고 생각한다.

[다] 수학자들은 증명에서 증거와 직관의 두 가지 사실을 얻고자 한다. 전통적으로 증명이 정리를 엄밀히 입증해야하는 것은 필수적이다. 그러나 좋은 증명은 어떻게 증명이 진행되는지에 대한 이해를 도와준다. 직관은 불명료한 것일 수 있지만 매우 바람직한 것이다. 증명이 반드시 직관을 제공해야 하는 것은 아니지만, 이를 제공한다면 그것은 소중한 것이다. 그림을 이용한 증명은 풍부한 직관을 제공하는가? 많은 사람들은 그림을 이용한 증명에서는 증거와 직관이 서로 반복하여 엄밀성을 잃는 대신 이해력을 보상 받는다고 생각한다. 그러나 이는 잘못된 생각이다. (c) 나는 그림을 이용한 증명을 합리화하는 것이 곧 엄밀성을 포기하는 것이라고 생각하지 않는다.

[라] 실제의 전통적인 증명에서 모자라는 모든 증거를 ‘귀납적 증거’라고 부르기로 하자. 수학의 업적들은 전적으로 연역적 증거에 의존하지만, 수학적 실제는 귀납적 방법에 한층 더 의존한다. 예를 들면 ‘모든 2보다 큰 정수는 두 개의 소수의 합으로 쓸 수 있다’는 골드바하의 예상을 생각 할 수 있다. 몇 개를 확인해 보면 $\displaystyle 4=2+2$, $\displaystyle 6=3+3$, $\displaystyle 8=3+5$, $\displaystyle 10=3+7$ 등과 같다. 컴퓨터를 써서 $\displaystyle 10^{9}$ 이상의 큰 수까지 확인해 보았으나 이에 대한 반례는 아직까지 발견되지 않았다. 수학자들은 골드바하의 예상이 참이라고 믿는 경향이 있다. 수학자들은 이 예상을 증명할 수는 없지만, 이에 대한 강한 귀납적 증거를 가지고 있다. 이와 같은 귀납적 고찰은 수학적 활동에 있어 중요하다. (d) 혹자는 이 같은 사실을 기꺼이 받아들이지만 ‘발견’과 ‘정당화’ 사이의 전통적 구별에 호소하려 들지도 모른다. 귀납적 증거는 정리를 생각해 내는 데는 도움이 되지만, 증명만이 실제적으로 정당화 할 수 있다고 말이다.Correction. 골드바흐 추측을 설명한 문장의 ‘정수’는 ‘짝수’의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[마] 괴델과 러셀은 수학에 있어 일차적 원리 혹은 공리에 도달하는 것은 과학의 그것과 비슷하다는 것을 입증한다. 수학적 직관은 물리학에 있어서 실험적 관찰과 비슷하다. 수학의 집합론에 있어서 공리계를 가정하는 것은 물리학에 있어서 양자역학과 같은 이론을 가정하는 것과 같다. 이 두 가지 이론 모두 그로부터 유도되는 결과들에 의하여 검증을 받으며, 직관적으로 또는 관찰한 바 참인 결과들에 의하여 뒷받침 된다. 그러나 직관적으로 또는 관찰한 바 거짓인 것은 논박을 당한다.