자연계열 1번

<문제 1: 35%> 다음 글을 읽고, 물음 【1-1】, 【1-2】, 【1-3】, 【1-4】에 답하라.

$\displaystyle a, b$를 실수라 하고, $\displaystyle i^2=-1$이라 하자. 좌표평면에서 복소수 $\displaystyle a+bi$를 [그림 1]과 같이 점 $\displaystyle P(a,b)$에 대응시키자. $\displaystyle r=\sqrt{a^2+b^2}$이라 하고, 원점 $\displaystyle O$와 점 $\displaystyle P$를 지나는 동경 $\displaystyle OP$가 나타내는 각을 $\displaystyle \theta$라 하면 $\displaystyle a=r\cos\theta, b=r\sin\theta$이다. 따라서 점 $\displaystyle a+bi$는 $\displaystyle (r\cos\theta,r\sin\theta)$로 나타낼 수 있다([그림 2] 참조). 만일 $\displaystyle r=1$이면 $\displaystyle a+bi$는 $\displaystyle (\cos\theta,\sin\theta)$이다.

$\displaystyle a,b,c,d$가 실수일 때, 복소수 $\displaystyle a+bi$와 $\displaystyle c+di$의 곱셈은$\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$이고, 이것을 집합 $\displaystyle \{(a,b)\mid a,b\text{는 실수}\}$에서의 곱셈 연산$\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$ ……①로 쓸 수 있다. 식 ①을 행렬로 나타내면$\displaystyle (a,b)(c,d)=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$ ……②이다. 또한 점 $\displaystyle P(a,b)$에 대하여 원점 $\displaystyle O$를 시점으로 하는 위치벡터 $\displaystyle \overrightarrow{OP}$는 $\displaystyle (a,b)$이다. 따라서 $\displaystyle (a,b)$는 복소수 $\displaystyle a+bi$로 볼 수도 있고, 벡터로 볼 수도 있다. 즉, $\displaystyle (a,b)=a+bi$이다.

【1-1】 회전변환을 이용하여 점 $\displaystyle (2,1)$을 원점을 중심으로 $\displaystyle 45^\circ$만큼 회전한 점을 구하라.

【1-2】 실수 $\displaystyle \alpha,\beta$에 대하여, 식 ①, ②를 이용하여$\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\quad\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$임을 보여라.

【1-3】 $\displaystyle (\cos\theta,\sin\theta)^1=(\cos\theta,\sin\theta)$라 하고, $\displaystyle 1$보다 큰 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle (\cos\theta,\sin\theta)^n=(\cos\theta,\sin\theta)(\cos\theta,\sin\theta)^{n-1}$이라 정의하자. 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle (\cos\theta,\sin\theta)^n=(\cos n\theta,\sin n\theta)$임을 보여라.

【1-4】 점 $\displaystyle A_1,A_2,\cdots,A_m$은 중심이 원점이고 반지름이 $\displaystyle 1$인 원 위의 서로 다른 점이며, 점 $\displaystyle A_m$의 좌표는 $\displaystyle (1,0)$이다. 점 $\displaystyle A_1,A_2,\cdots,A_m$은 정 $\displaystyle m$각형의 꼭지점이다. $\displaystyle z=\left(\cos\frac{2\pi}{m},\sin\frac{2\pi}{m}\right)=\cos\frac{2\pi}{m}+\sin\frac{2\pi}{m}i$라 할 때 $\displaystyle \overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\cdots+\overrightarrow{OA_m}$을 $\displaystyle z$를 이용하여 나타내고, 이 벡터의 합과$\displaystyle 1+\cos\frac{2\pi}{m}+\cos\frac{4\pi}{m}+\cdots+\cos\frac{2(m-1)\pi}{m},\quad\sin\frac{2\pi}{m}+\sin\frac{4\pi}{m}+\cdots+\sin\frac{2(m-1)\pi}{m}$값을 구하라.