자연계열 2번

<문제 2: 35%> 다음 글을 읽고, 물음 【2-1】, 【2-2】, 【2-3】, 【2-4】에 답하라.

두 개의 원이 직각으로 만난다는 것은, 두 개의 점에서 만나며 각 교점에서의 각 원에 대한 접선이 수직인 것을 말한다. 중심이 점 $\displaystyle O$이고 반지름이 $\displaystyle 1$인 원 $\displaystyle C$에 대하여, [그림 3]과 같이 $\displaystyle C$와 직각으로 만나며 반지름이 $\displaystyle r_n$이고 중심이 $\displaystyle O_n$인 원 $\displaystyle C_n$들을 배치하려고 한다($\displaystyle n=1,2,\cdots$). 이때 원 $\displaystyle C_1,C_2,C_3,\cdots$의 내부들은 서로 만나지 않도록 한다. $\displaystyle C$와 $\displaystyle C_n$의 두 교점을 각각 $\displaystyle P_n,Q_n$이라 하면 직선 $\displaystyle OP_n$과 $\displaystyle OQ_n$은 각각 점 $\displaystyle P_n,Q_n$에서의 $\displaystyle C_n$의 접선임을 알 수 있다.

그런데 $\displaystyle r_n=\frac1n$이면 $\displaystyle C_1,C_2,C_3,\cdots$들을 모두 배치하는 것이 불가능하지만, $\displaystyle r_n=\frac1{2^n}$이라면 [그림 4]와 같이 $\displaystyle C_1,C_2,C_3,\cdots$들을 시계반대방향으로 돌아가면서 접하게 배치해 나가면 $\displaystyle C_n$들을 모두 배치할 수 있을 것이다.

【2-1】 [그림 3]에서처럼 원 $\displaystyle C$ 위의 호 $\displaystyle P_nQ_n$에 해당하는 중심각의 크기의 $\displaystyle \frac12$을 $\displaystyle \theta_n$이라 하자. 부채꼴 $\displaystyle O_nP_nQ_n$의 호 $\displaystyle P_nQ_n$과 선분 $\displaystyle P_nQ_n$으로 둘러싸인 영역의 넓이 $\displaystyle A_n$을 $\displaystyle \theta_n$으로 나타내어라. $\displaystyle r_n$이 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n=0$를 만족한다고 할 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{r_n^2}$을 구하라.

【2-2】 $\displaystyle 0\le x\le\frac\pi4$일 때, 부등식 $\displaystyle x\le\tan x\le2x$가 성립함을 보여라.

【2-3】 앞의 문항【2-2】의 부등식을 이용하여 제시문 속의 밑줄 친 내용이 타당함을 설명하라.

【2-4】 $\displaystyle r_n=\frac1{2^n}$일 때 [그림 4]와 같이 $\displaystyle C_1,C_2,C_3,\cdots$들을 접하게 하지 않고, 임의의 위치에 배치해 나간다면 $\displaystyle C_1,C_2,C_3,\cdots$을 모두 배치하는 것이 항상 가능한지를 논하라.