공학계열 2번

[가] 미리 정해진 길이의 시간구간 동안 지정된 영역으로 들어가는 방사선 물질로부터 방출되는 알파입자의 수를 검출하는 실험으로부터 다음 결과를 얻는다.(a) 양수 $\displaystyle h$가 매우 작을 때, 길이가 $\displaystyle h$인 임의의 시간구간에서 알파입자가 한 개 검출될 확률은 근사적으로 $\displaystyle λh$이다.(b) 양수 $\displaystyle h$가 매우 작을 때, 길이가 $\displaystyle h$인 임의의 시간구간에서 알파입자가 두 개 이상 검출될 확률은 근사적으로 0이다.(c) 겹치지 않는 두 시간구간에 대하여 알파입자가 검출될 사건은 항상 독립적이다.

[나] 제시문 [가]의 내용을 수리적인 모형으로 나타내고자 한다. 먼저 기호 $\displaystyle o(h)$를 도입하자. $\displaystyle o(h)$는 $\displaystyle \lim_{h\to0}[o(h)/h]=0$을 만족하는 함수들을 총칭한다. 쉬운 예들로 $\displaystyle h^2=o(h)$, $\displaystyle h^3=o(h)$이지만, $\displaystyle h\ne o(h)$이다. $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{o(h)}h=\lim_{h\to0}\frac hh=1\ne0$이기 때문이다. 길이 $\displaystyle h$인 구간에서 알파입자가 $\displaystyle x$개 검출될 확률을 $\displaystyle g(x,h)$라고 하자. $\displaystyle g(x,h)$와 $\displaystyle o(h)$를 이용하여 제시문 [가]의 (a), (b), (c)를 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.Correction. $\displaystyle h$가 $\displaystyle o(h)$가 아님을 확인하는 식은 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac hh=1\ne0$이다. 원문의 첫 항 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{o(h)}h$는 정의에 따라 $\displaystyle 0$이므로 뒤의 값 $\displaystyle 1$과 등호로 연결할 수 없다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(a′) $\displaystyle g(1,h)=\lambda h+o(h)$. ($\displaystyle \lambda$는 고정된 상수값)(b′) $\displaystyle \sum_{x=2}^\infty g(x,h)=o(h)$.(c′) 임의의 양수 $\displaystyle h$와 $\displaystyle w$에 대하여 $\displaystyle g(0,w+h)=g(0,w)g(0,h)$, $\displaystyle g(1,w+h)=g(1,w)g(0,h)+g(0,w)g(1,h)$ 등으로 나타낼 수 있다.

[다] 제시문 [나]의 법칙들 (a′), (b′), (c′)을 만족시키는 $\displaystyle g(x,h)$는$\displaystyle g(x,w)=\frac{(\lambda w)^xe^{-\lambda w}}{x!},\quad x=0,1,2,\cdots$임을 유도할 수 있다. 지수함수 $\displaystyle e^m$는 무한급수 $\displaystyle 1+m+\frac{m^2}{2!}+\frac{m^3}{3!}+\cdots=\sum_{x=0}^\infty\frac{m^x}{x!}$으로 표현된다는 것이 잘 알려져 있으며, 이로부터 $\displaystyle \sum_{x=0}^\infty g(x,w)=1$이 된다. 즉 주어진 $\displaystyle w$에 대한 위 실험치를 확률변수 $\displaystyle X$라 할 때, $\displaystyle g(x,w)$는 $\displaystyle X$에 대한 확률질량함수가 된다.

[라] 일반적으로 확률변수 $\displaystyle X$의 함수 $\displaystyle f(X)$에 대하여, $\displaystyle f(X)$의 기댓값을$\displaystyle E(f(X))=\sum_{x=0}^\infty f(x)g(x,w)$로 정의한다. 특별히 $\displaystyle f(X)=X$일 때, $\displaystyle E(X)$는 확률변수 $\displaystyle X$의 기댓값이라고 부르며, $\displaystyle f(X)=(X-E(X))^2$일 때 $\displaystyle E((X-E(X))^2)$을 확률변수 $\displaystyle X$의 분산이라고 정의한다.