자연계열 1번

[가] 좌표평면 위의 임의의 점 $\displaystyle P(x,y)$를 그 좌표평면 위의 점 $\displaystyle P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})$으로 옮기는 함수를 변환이라고 하고 $\displaystyle f:(x,y)\to(x^{\prime},y^{\prime})$으로 나타낸다. 좌표평면의 원점을 $\displaystyle O$로 표시하자. 그러면 평면 위의 한 점 $\displaystyle P$는 원점 $\displaystyle O$에 대한 점 $\displaystyle P$의 위치벡터 $\displaystyle \vec p=\overrightarrow{OP}$와 일대일대응이다. 따라서 변환 $\displaystyle f$는 위치벡터 $\displaystyle \vec p$를 위치벡터 $\displaystyle \vec{p^{\prime}}$으로 옮기는 함수로 볼 수 있고 이것을$\displaystyle f:\vec p\to\vec{p^{\prime}}\quad\text{또는}\quad\vec{p^{\prime}}=f(\vec p)$로 나타낸다. 일반적으로 임의의 위치벡터 $\displaystyle \vec p,\vec q$에 대하여$\displaystyle |f(\vec p)-f(\vec q)|=|\vec p-\vec q|$를 만족시키는 변환 $\displaystyle f$를 합동변환이라고 한다. 여기서 $\displaystyle |\vec p-\vec q|$는 벡터 $\displaystyle \vec p-\vec q$의 크기, 즉 두 위치벡터 $\displaystyle \vec p,\vec q$의 종점의 거리를 의미한다. 따라서 합동변환이란 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 보존하는 변환을 말한다. 합동변환의 대표적인 예로는 평행이동, 회전이동 및 대칭이동을 들 수 있다. 또한 변환 $\displaystyle f:\vec p\to\vec{p^{\prime}}$와 $\displaystyle g:\vec{p^{\prime}}\to\vec{p^{\prime\prime}}$가 합동변환이면 $\displaystyle f$와 $\displaystyle g$의 합성변환 $\displaystyle g\circ f:\vec p\to\vec{p^{\prime\prime}}$도 합동변환이다. 한편, 변환 $\displaystyle f:(x,y)\to(x^{\prime},y^{\prime})$에서 대응하는 점의 좌표 사이에$\displaystyle x^{\prime}=ax+by,\quad y^{\prime}=cx+dy\quad(a,b,c,d\text{는 상수})$와 같이 상수항이 없는 일차식의 관계가 성립할 때, 변환 $\displaystyle f$를 일차변환이라고 하고 행렬 $\displaystyle [f]=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$를 일차변환 $\displaystyle f$의 행렬이라고 한다. 두 일차변환 $\displaystyle f$와 $\displaystyle g$의 합성변환 $\displaystyle g\circ f$도 일차변환이고 세 일차변환의 행렬 사이에는 $\displaystyle [g\circ f]=[g][f]$의 관계가 있다.

[나] 원점 $\displaystyle O$를 중심으로 $\displaystyle \theta$만큼 회전하는 회전이동을 $\displaystyle R_\theta$라고 하고, 좌표평면 위의 세 점 $\displaystyle P(x,y)$, $\displaystyle Q(x,0)$, $\displaystyle R(0,y)$가 $\displaystyle R_\theta$에 의하여 각각 $\displaystyle P^{\prime},Q^{\prime},R^{\prime}$으로 옮겨진다고 하자. 두 점 $\displaystyle Q^{\prime},R^{\prime}$의 좌표는 $\displaystyle Q^{\prime}(x\cos\theta,x\sin\theta)$, $\displaystyle R^{\prime}(-y\sin\theta,y\cos\theta)$이다. 또한 사각형 $\displaystyle OQ^{\prime}P^{\prime}R^{\prime}$이 직사각형이므로 $\displaystyle P^{\prime}$의 좌표를 $\displaystyle P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})$이라 하면 $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})=(x\cos\theta-y\sin\theta,x\sin\theta+y\cos\theta)$이 성립한다. 따라서 회전이동 $\displaystyle R_\theta$는 행렬이 $\displaystyle [R_\theta]=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$인 일차변환이다.

원점 $\displaystyle O$를 지나고 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각이 $\displaystyle \theta/2$인 직선에 대한 대칭이동을 $\displaystyle M_{\theta/2}$라고 하자. 좌표평면 위의 점 $\displaystyle P(x,y)$가 $\displaystyle M_{\theta/2}$에 의하여 점 $\displaystyle P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})$으로 옮겨진다고 하면 점 $\displaystyle P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})$은 점 $\displaystyle P(x,y)$를 $\displaystyle x$축에 대하여 대칭이동한 점 $\displaystyle P^{\prime\prime}(x,-y)$를 원점 $\displaystyle O$를 중심으로 $\displaystyle \theta$만큼 회전이동한 점과 일치하므로 $\displaystyle (x^{\prime},y^{\prime})=(x\cos\theta+y\sin\theta,x\sin\theta-y\cos\theta)$가 된다. 따라서 대칭이동 $\displaystyle M_{\theta/2}$는 행렬이 $\displaystyle [M_{\theta/2}]=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}$인 일차변환이다.

[다] 영벡터 $\displaystyle \vec0$은 원점 $\displaystyle O$의 위치벡터이다. $\displaystyle f(\vec0)=\vec0$인 합동변환 $\displaystyle f$를 생각하자. 합동변환 $\displaystyle f$는 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 보존하므로 임의의 위치벡터 $\displaystyle \vec p$에 대하여$\displaystyle |f(\vec p)|=|\vec p|$가 성립한다. 즉, 변환 $\displaystyle f$는 위치벡터의 크기를 보존한다. 그런데 두 위치벡터 $\displaystyle \vec p,\vec q$의 내적은 두 벡터의 크기와 거리를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle \vec p\cdot\vec q=\frac12[|\vec p|^2+|\vec q|^2-|\vec p-\vec q|^2]$따라서 임의의 위치벡터 $\displaystyle \vec p,\vec q$에 대하여$\displaystyle f(\vec p)\cdot f(\vec q)=\vec p\cdot\vec q$가 성립한다. 즉, 변환 $\displaystyle f$는 위치벡터의 내적도 보존한다. 그러므로 두 점 $\displaystyle E_1(1,0),E_2(0,1)$의 위치벡터 $\displaystyle \vec{e_1},\vec{e_2}$가 변환 $\displaystyle f$에 의하여 각각 $\displaystyle \vec{e_1^{\prime}},\vec{e_2^{\prime}}$으로 옮겨진다고 하면 두 벡터 $\displaystyle \vec{e_1^{\prime}},\vec{e_2^{\prime}}$은 서로 수직인 단위벡터이다.