자연계열 2번

[가] 이산확률변수 $\displaystyle X$가 가질 수 있는 값이 $\displaystyle x_1,x_2,\ldots,x_n$이고 각각의 $\displaystyle i$에 대하여 $\displaystyle X$가 값 $\displaystyle x_i$를 가질 확률이 $\displaystyle p_i$라고 할 때, $\displaystyle X$가 가질 수 있는 값 $\displaystyle x_i$와 $\displaystyle X$가 그 값 $\displaystyle x_i$를 가질 확률 $\displaystyle p_i$의 대응 관계를 $\displaystyle X$의 확률분포라고 한다. 이산확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포는 확률질량함수$\displaystyle \mathrm P(X=x_i)=p_i\quad(i=1,2,\ldots,n)\qquad(\star)$또는 확률분포표

에 의해 주어진다. $\displaystyle X$의 확률분포가 이와 같을 때,$\displaystyle m=E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\mathrm P(X=x_i)$를 $\displaystyle X$의 평균(또는 기댓값)이라고 하고$\displaystyle V(X)=\sum_{i=1}^n(x_i-m)^2\mathrm P(X=x_i)$를 $\displaystyle X$의 분산이라고 한다. 그러므로 이산확률변수 $\displaystyle X$의 평균과 분산을 구하기 위해서는 확률질량함수 또는 확률분포표로 주어지는 $\displaystyle X$의 확률분포를 알고 있어야 한다. 이 사실에 기초하여, 이산확률변수 $\displaystyle Y=X-m$의 평균과 분산을 구할 수 있다. $\displaystyle X$의 확률분포표로부터 $\displaystyle Y$의 확률분포표는

이다. 따라서 $\displaystyle Y$의 평균과 분산은 각각 다음과 같다.$\displaystyle E(Y)=\sum_{i=1}^n(x_i-m)\mathrm P(Y=x_i-m)=\sum_{i=1}^n(x_i-m)p_i=0$$\displaystyle V(Y)=\sum_{i=1}^n[(x_i-m)-E(Y)]^2\mathrm P(Y=x_i-m)=\sum_{i=1}^n(x_i-m)^2p_i=V(X)$

[나] 어떤 시행에서 사건 $\displaystyle A$가 일어날 확률이 $\displaystyle p\;(0<p<1)$이고 따라서 일어나지 않을 확률이 $\displaystyle q=1-p$이다. 이 시행을 독립적으로 $\displaystyle n$번 반복할 때, 사건 $\displaystyle A$가 일어나는 횟수를 $\displaystyle X$라고 하면 $\displaystyle X$는 확률질량함수가$\displaystyle \mathrm P(X=x)={}_{n}\mathrm C_x\,p^xq^{n-x}\quad(x=0,1,\ldots,n)$으로 주어지는 이산확률변수이다. 이와 같은 $\displaystyle X$의 확률분포를 이항분포라고 하고 $\displaystyle B(n,p)$로 나타낸다. 제시문 [가]의 정의를 이용하여, $\displaystyle X$의 평균과 분산을 구하면 다음과 같다.$\displaystyle E(X)=np,\quad V(X)=npq$

[다] 랜덤워크(random walk)는 액체 또는 기체 속에 있는 입자의 불규칙적인 운동이나 예측하기 어려운 주식의 가격변화를 설명하는 데 이용될 수 있는 수리적 모형이다. 가장 간단한 랜덤워크의 예로는 수직선상의 한 점 $\displaystyle P$가 원점에서 출발하여 오른쪽 또는 왼쪽으로 한 칸씩 임의로 움직이는 것을 들 수 있다. 점 $\displaystyle P$가 오른쪽으로 움직일 확률을 $\displaystyle p\;(0<p<1)$, 왼쪽으로 움직일 확률을 $\displaystyle q=1-p$라고 하자. 또한, 점 $\displaystyle P$가 원점 0의 위치에서 출발하여 독립적으로 $\displaystyle n$번 임의이동한 후 도착한 위치를 $\displaystyle W$라고 하자. 그러면 변수 $\displaystyle W$는 가질 수 있는 값이 유한개이며 각 값에 대하여 확률이 정해져 있는 이산확률변수이다. 예를 들어, 점 $\displaystyle P$가 다섯 번 이동한다면 $\displaystyle W$는 $\displaystyle -5,-3,-1,1,3,5$ 중의 하나의 값을 가질 수 있고 각각의 확률은 다음과 같다.

이 예로부터 $\displaystyle W$의 확률분포가 이항분포와 밀접한 관계가 있음을 알 수 있다.