서강대 2013학년도 모의 자연계열 1번 해설

[문항2]

제시문을 읽고 다음 물음에 답하라. (글자 수 제한 없음, 50% 배점)

한국대학교는 교수 100명의 직접투표를 통해 총장 선거를 실시했다. 총장후보자는 A, B, C, D 네 사람이고, 유권자인 교수 100명은 투표용지에 각 후보자의 순위를 적는 방식으로 선거가 진행되었으며, 투표 결과는 다음의 표와 같다.

득표수 (명)	1위	2위	3위	4위
$35$	$A$	$B$	$C$	$D$
$1$	$A$	$B$	$D$	$C$
$0$	$A$	$C$	$B$	$D$
$1$	$A$	$C$	$D$	$B$
$0$	$A$	$D$	$B$	$C$
$1$	$A$	$D$	$C$	$B$
$0$	$B$	$A$	$C$	$D$
$0$	$B$	$A$	$D$	$C$
$0$	$B$	$C$	$A$	$D$
$1$	$B$	$C$	$D$	$A$
$0$	$B$	$D$	$A$	$C$
$10$	$B$	$D$	$C$	$A$
$0$	$C$	$A$	$B$	$D$
$0$	$C$	$A$	$D$	$B$
$2$	$C$	$B$	$A$	$D$
$25$	$C$	$B$	$D$	$A$
$0$	$C$	$D$	$A$	$B$
$3$	$C$	$D$	$B$	$A$
$0$	$D$	$A$	$B$	$C$
$0$	$D$	$A$	$C$	$B$
$0$	$D$	$B$	$A$	$C$
$1$	$D$	$B$	$C$	$A$
$0$	$D$	$C$	$A$	$B$
$20$	$D$	$C$	$B$	$A$

투표결과 4명의 후보들은 각자가 총장이 되어야 한다고 주장하였고, 학교의 이사회는 토론 끝에 후보 D를 탈락시킨 후 교수 20명으로 총장 후보 추천 위원회를 새롭게 구성하여 이들로 하여금 후보 A, B, C를 각자 선호하는 순서대로 적는 2차 투표를 실시하였다. 위원회는 2차 투표 결과 단순히 1순위를 가장 많이 얻은 후보가 총장으로 당선된다고 룰을 정했고, 개표결과 20명의 위원들 중 11명이 A보다 B를 선호하였고, 14명이 B보다 C를 선호하였으며, 12명이 C보다 A를 선호하였고, 또한 아래 표에서 개표결과 발생 가능한 6가지 결과의 득표수를 나타내는 $\displaystyle f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6$ 중 단 하나도 0이 아니었다고 공표하였다.

득표수 (명)	1위	2위	3위
$f_1$	$A$	$B$	$C$
$f_2$	$A$	$C$	$B$
$f_3$	$B$	$A$	$C$
$f_4$	$B$	$C$	$A$
$f_5$	$C$	$A$	$B$
$f_6$	$C$	$B$	$A$

【2-1】 1차 투표결과 세 명의 후보 A, B, C 모두 각자 자신이 총장이 되어야 한다고 주장하였을 때 그 이유가 나름대로 의미 있다고 받아들여진 이유를 설명하시오. (15% 배점)

【2-2】 1차 투표에서 탈락한 후보 D가 총장이 되어야 한다고 주장할 수 있는 근거를 나름의 논리로 설명하시오. (10% 배점)

【2-3】 2차 투표 후 위원회가 공표한 내용만으로 총장 당선자가 결정되었다고 말할 수 있는가? 만일 그렇다면 총장 당선자는 누구인가? (25% 배점)

서강대 2014학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sogang/2014mo/jayeon_2

교과과정 : 중학교 1학년 통계 (도수분포),고등학교 1학년 방정식과 부등식 (방정식의 정수해)

문항 2는 자료 분석형 문제로 자료가 되는 도표에 대한 철저한 이해를 동반한 논리적 사고 및 수리적 능력을 기반으로 하는 문제 해결 능력을 평가하고자 출제되었다.

【2-1】과 【2-2】은 자료분석-과제해결형 문제로서 수험생이 논리적이고 수학적인 사고를 이용하여 현실의 문제를 분석하고 해결해나갈 수 있는 능력을 평가하는 문제이다.

【2-3】은 미지수의 범위가 주어진 1차 연립 방정식의 정수해를 구하는 문제로 귀결되는 과제 해결형 및 수리 응용형의 혼합 형식이다.

【2-1】 1순위를 가장 많이 얻은 후보가 당선되기로 할 때, 38표로 1순위를 가장 많이 얻은 후보 A가 총장에 당선되어야 한다. 이는 국회의원 선거에서 당선자가 나오는 방식과 금메달의 숫자로만 올림픽 출전국가의 순위를 매기는 방식과 같다.

1순위에게 4점, 2순위에게 3점, 3순위에게 2점, 4순위에게 1점을 주어 그 점수를 합하는 방법을 택할 때, 총점 284로 B가 가장 높은 점수를 얻어 281점으로 2위를 차지한 후보 C를 누르고 총장에 당선된다. 이는 A는 4점, B는 3점, C는 2점, D는 1점으로 간주하여 성적을 산출하는 대학교 학점 평가 방식과 같다.

후보끼리 일대일로 선호도를 비교할 때, $\displaystyle C:A = 62:38$ , $\displaystyle C:B = 52:48$ , $\displaystyle C:D = 67:33$ 로 후보 C가 당선된다. 이는 출전 팀들이 일대일로 풀리그를 벌여서 우승자를 결정짓는 운동경기에 비교할 수 있다.

【2-2】 1위 최소득표 후보를 차례로 탈락시키고 마지막으로 남은 후보가 당선되는 방식을 고려해보자. 투표 시 처음부터 지지하는 후보를 1순위, 1순위 후보가 탈락할 때 지지하는 후보를 2순위, 2순위 후보가 탈락할 때 지지하는 후보를 3순위 등으로 기표하면 단 한번 투표로 최종 당선자를 선출할 수 있다. 이런 방식을 택하는 경우 1순위 지지자가 11명뿐인 후보 B가 가장 먼저 탈락하고, B가 없는 상황에서 투표결과를 상정하면 후보 C가 이어서 탈락하고 최종 선발은 남은 후보 A와 D 중 다수의 표를 얻은 후보 D가 당선된다.

【2-3】 주어진 식 $\displaystyle f_1+f_2+f_3+f_4+f_5+f_6=20$ , $\displaystyle f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6\geq 1$ 와 $\displaystyle f_3+f_4+f_6=11$ , $\displaystyle f_2+f_5+f_6=14$ , $\displaystyle f_1+f_2+f_3=12$ 로부터 $\displaystyle f_1+f_2+f_5=9$ , $\displaystyle f_1+f_3+f_4=6$ , $\displaystyle f_4+f_5+f_6=8$ 을 얻는다.

이중 가장 간단한 식 $\displaystyle f_1+f_3+f_4=6$ 으로부터 $\displaystyle 2\leq f_3+f_4\leq 5$ 가 성립하므로 $\displaystyle f_3+f_4=2,3,4,5$ 를 각각 대입해서 $\displaystyle f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6$ 를 구하도록 한다.

(i) $\displaystyle f_3+f_4=2$ 인 경우 $\displaystyle f_1=4$ , $\displaystyle f_3=1$ , $\displaystyle f_4=1$ 이고 $\displaystyle f_1+f_2+f_3=12$ 로부터 $\displaystyle f_2=7$ 을 얻으나 이는 식 $\displaystyle f_1+f_2+f_5=9$ 를 만족할 수 없다.

(ii) $\displaystyle f_3+f_4=3$ 인 경우 $\displaystyle f_1=3$ , $\displaystyle f_3=1$ , $\displaystyle f_4=2$ 또는 $\displaystyle f_1=3$ , $\displaystyle f_3=2$ , $\displaystyle f_4=1$ 가 성립하나 이는 $\displaystyle f_1+f_2+f_3=12$ 와 $\displaystyle f_1+f_2+f_5=9$ 를 동시에 만족할 수 없다.

(iii) $\displaystyle f_3+f_4=4$ 인 경우 $\displaystyle f_3+f_4+f_6=11$ 으로부터 $\displaystyle f_6=7$ 을 얻으나 이는 $\displaystyle f_4+f_5+f_6=8$ 를 만족할 수 없다.

(iv) $\displaystyle f_3+f_4=5$ 인 경우 $\displaystyle f_1=1$ 이고 $\displaystyle f_3+f_4+f_6=11$ 으로부터 $\displaystyle f_6=6$ 을 얻고 $\displaystyle f_4+f_5+f_6=8$ 로부터 $\displaystyle f_4=1$ , $\displaystyle f_5=1$ 을 얻고 따라서 $\displaystyle f_3=4$ 이고 $\displaystyle f_1+f_2+f_3=12$ 로부터 $\displaystyle f_2=7$ 을 얻는다. 이렇게 얻어진 $\displaystyle (f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6)=(1,7,4,1,1,6)$ 은 모든 식을 만족한다.

따라서 위원회가 공표한 내용만으로 총장 당선자가 유일하게 결정되며, 당선자는 8명에게서 1위 득표를 얻은 후보 A이다.

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