자연계열 1번

【1-1】$\displaystyle p+q+r\ne0$에 대하여 $\displaystyle pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0$을 만족하는 수열 $\displaystyle \{a_n\}$이 수렴한다고 하자. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$라 놓고 등식 $\displaystyle pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0$에 $\displaystyle n\to\infty$의 극한을 취하면 $\displaystyle (p+q+r)\alpha=0$을 얻는다. 이때 $\displaystyle p+q+r\ne0$이므로 $\displaystyle \alpha=0$이어야 한다. 한편 $\displaystyle p+q+r=0$인 경우에는 $\displaystyle (p+q+r)\alpha=0$은 모든 실수 $\displaystyle \alpha$에 대하여 성립하므로 $\displaystyle \alpha=\lim_{n\to\infty}a_n=0$이 반드시 성립할 필요가 없다. 실제로 제시문 [가]에서 수열의 일반항$\displaystyle a_n=a_1+\frac{(a_2-a_1)(1-(r/p)^{n-1})}{1-(r/p)}$은 $\displaystyle -1<\frac rp<1$인 경우에 $\displaystyle a_1+\frac{a_2-a_1}{1-(r/p)}$으로 수렴한다.

【1-2】$\displaystyle a_1=1,a_2=4$ 그리고 $\displaystyle (a_{n+2}-2a_{n+1})=2(a_{n+1}-2a_n)$에서 $\displaystyle a_{n+1}-2a_n=b_n$이라 놓으면, $\displaystyle b_{n+1}=2b_n,b_1=a_2-2a_1=2$이므로$\displaystyle b_n=2\times2^{n-1}=2^n$이고 따라서 $\displaystyle a_{n+1}-2a_n=2^n$이 성립한다. 이 식의 양변을 $\displaystyle 2^{n+1}$로 나누면 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{a_n}{2^n}=\frac12$가 성립하므로수열 $\displaystyle \{\frac{a_n}{2^n}\}$은 첫째 항이 $\displaystyle \frac12$이고 공차가 $\displaystyle \frac12$인 등차수열이다. 따라서 $\displaystyle \frac{a_n}{2^n}=\frac12+(n-1)\frac12=\frac n2$가 성립하여 $\displaystyle a_n=n2^{n-1}$을 얻는다.한편, $\displaystyle a_1=1,a_2=4,a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n=0$인 경우 $\displaystyle (a_{n+2}-\alpha a_{n+1})=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)$라 놓고 비교하면 $\displaystyle \alpha+\beta=4,\alpha\beta=3$으로부터 $\displaystyle (\alpha,\beta)=(1,3)$ 또는 $\displaystyle (3,1)$을 얻으므로, 제시문 [나]로부터$\displaystyle \begin{gathered}a_{n+1}-a_n=(4-1)3^{n-1}=3^n\\a_{n+1}-3a_n=(4-3)1^{n-1}=1\end{gathered}$이 성립한다. 위 식에서 아래 식을 빼고 정리하면 $\displaystyle a_n=\frac12(3^n-1)$을 얻는다.

【1-3】$\displaystyle a_k=k$분 후에 용기 A에 들어있게 되는 리터 단위의 물의 양$\displaystyle b_k=k$분 후에 용기 B에 들어있게 되는 리터 단위의 물의 양이라 놓으면 다음이 성립한다.$\displaystyle \begin{gathered}a_{k+1}=0.9a_k+0.2b_k\\b_{k+1}=0.1a_k+0.8b_k\end{gathered}$위의 식에서 $\displaystyle b_k=5a_{k+1}-4.5a_k$을 얻고 이를 아래 식에 대입하면 다음을 얻는다.$\displaystyle 5a_{k+2}-4.5a_{k+1}=0.1a_k+0.8(5a_{k+1}-4.5a_k)$이를 정리하면 $\displaystyle 5a_{k+2}-8.5a_{k+1}+3.5a_k=0$이 성립하고 ($\displaystyle p+q+r=0$인 경우) 따라서$\displaystyle a_{k+2}-a_{k+1}=\frac7{10}(a_{k+1}-a_k)$가 성립하고, $\displaystyle -1<\frac7{10}<1$이므로 $\displaystyle \lim_{k\to\infty}a_k=a$가 존재한다.모든 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle a_k+b_k$는 일정한 값이므로 $\displaystyle \lim_{k\to\infty}b_k=b$도 존재한다.이제 방정식$\displaystyle \begin{gathered}a=0.9a+0.2b\\b=0.1a+0.8b\end{gathered}$를 풀면 $\displaystyle a=2b$를 얻고 따라서 A에 담긴 물의 양과 용기 B에 담긴 물의 양의 비율은 특정한 값 2에 수렴한다.