자연계열 1번

[가]첫째 항 $\displaystyle a_1$과 둘째 항 $\displaystyle a_2$가 주어지고 $\displaystyle p+q+r=0$인 실수 $\displaystyle p,q,r$과 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 등식$\displaystyle pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0$을 만족하는 수열 $\displaystyle \{a_n\}$이 있을 때 $\displaystyle q=-p-r$을 주어진 식에 대입하고 정리하면$\displaystyle p(a_{n+2}-a_{n+1})=r(a_{n+1}-a_n)$즉, 등식$\displaystyle a_{n+2}-a_{n+1}=\frac rp(a_{n+1}-a_n)$을 만족하므로 $\displaystyle \{a_n\}$의 계차수열은 공비가 $\displaystyle \frac rp$인 등비수열이다. 이때 $\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_n$이라 놓으면,$\displaystyle b_{n+1}=\frac rp b_n,\quad b_1=a_2-a_1$이므로 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle b_n=(a_2-a_1)\left(\frac rp\right)^{n-1}$이다. 그러므로 $\displaystyle n>1$에 대하여$\displaystyle a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(a_2-a_1)\left(\frac rp\right)^{k-1}=a_1+\frac{(a_2-a_1)(1-(r/p)^{n-1})}{1-(r/p)}$Caution. 나누거나 약분할 때는 그 식이 $\displaystyle 0$이 아닌지 확인해야 한다: 제시문 [가]에서는 점화식의 양변을 $\displaystyle p$로 나누어 계차수열의 공비를 $\displaystyle \frac rp$로 나타냈다. 이 과정에는 $\displaystyle p\ne0$이라는 조건이 필요하다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Caution. 등비수열의 합을 구할 때는 공비가 $\displaystyle 1$인 경우를 따로 다루어야 한다: 제시문 [가]의 계차수열은 공비가 $\displaystyle \frac rp$이다. $\displaystyle p=r\ne0$이면 공비가 $\displaystyle 1$이므로, 분모가 $\displaystyle 1-\frac rp$인 합 공식에 대입할 수 없다. 이때 계차가 모두 $\displaystyle a_2-a_1$이므로 $\displaystyle a_n=a_1+(n-1)(a_2-a_1)$로 따로 구해야 한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

[나]수열 $\displaystyle \{a_n\}$이 $\displaystyle p+q+r\ne0$인 실수 $\displaystyle p,q,r$과 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0$을 만족하는 경우$\displaystyle (a_{n+2}-\alpha a_{n+1})=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)$을 성립하게 하는 실수 $\displaystyle \alpha,\beta$를 찾는다.먼저 $\displaystyle \alpha=\beta$인 경우를 살펴보자. 예를 들어, 수열 $\displaystyle \{a_n\}$이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0$을 만족할 때, 식$\displaystyle (a_{n+2}-\alpha a_{n+1})=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)$으로부터 $\displaystyle \alpha+\beta=4,\alpha\beta=4$를 얻고 이를 풀면 $\displaystyle \alpha=\beta=2$를 얻는다. 이 경우 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은$\displaystyle (a_{n+2}-2a_{n+1})=2(a_{n+1}-2a_n)$을 만족한다.이때 $\displaystyle a_{n+1}-2a_n=b_n$이라 놓으면, $\displaystyle b_{n+1}=2b_n,b_1=a_2-2a_1$이므로 $\displaystyle b_n=(a_2-2a_1)2^{n-1}$이고, 이로부터 수열의 일반항 $\displaystyle a_n$을 구할 수 있다.①$\displaystyle \alpha,\beta$가 서로 다른 실수 ($\displaystyle \alpha\ne\beta$)인 경우에는 두 식$\displaystyle (a_{n+2}-\alpha a_{n+1})=\beta(a_{n+1}-\alpha a_n)$과$\displaystyle (a_{n+2}-\beta a_{n+1})=\alpha(a_{n+1}-\beta a_n)$이 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 성립하고, 이는 두 수열 $\displaystyle \{a_{n+1}-\alpha a_n\}$과 $\displaystyle \{a_{n+1}-\beta a_n\}$이 각각 공비가 $\displaystyle \beta$와 $\displaystyle \alpha$인 등비수열이라는 것을 의미한다. 따라서 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle \begin{gathered}a_{n+1}-\alpha a_n=(a_2-\alpha a_1)\beta^{n-1}\\a_{n+1}-\beta a_n=(a_2-\beta a_1)\alpha^{n-1}\end{gathered}$이 성립하고, 이 두 개의 식 중 위의 식에서 아래의 식을 빼고 정리하면 수열의 일반항 $\displaystyle a_n$을 구할 수 있다.

[다]두 개의 용기 A, B에 현재 적당한 양의 물이 들어있는데, 용기 A에 담긴 물의 양의 10%를 용기 B로 옮겨 담는 동시에 용기 B에 담긴 물의 양의 20%를 용기 A로 옮겨 담는 작업을 매 1분마다 지속적으로 반복한다. 즉 현재부터 매 1분마다 용기 A에는 담겨 있던 물의 10%가 빠져나가는 동시에 용기 B에 담겨져 있던 물의 20%가 들어오는 것이 반복 된다. 이때 아주 오랜 시간이 지난 후 두 용기에 담긴 물의 양의 비율은 일정한 값으로 수렴한다.