자연계열 I 1번

[가] 함수 $\displaystyle f(x)$에서 $\displaystyle x$가 $\displaystyle a$와 다른 값을 가지면서 $\displaystyle a$에 한없이 가까워질 때 $\displaystyle f(x)$의 값이 일정한 실수 $\displaystyle L$에 한없이 가까워지면, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 극한(값) $\displaystyle L$을 갖는다고 말하며 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L$ 또는 $\displaystyle x\to a$일 때, $\displaystyle f(x)\to L$로 나타낸다. 예를 들면 $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$일 때, $\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=2$이다. 함수의 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$이 존재하면 좌극한 $\displaystyle \lim_{x\to a-0}f(x)$과 우극한 $\displaystyle \lim_{x\to a+0}f(x)$이 존재하고 그 값은 같으며, 이 역도 성립한다. 예를 들면 $\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{|x-1|}$일 때, $\displaystyle \lim_{x\to1-0}f(x)=-1$이고 $\displaystyle \lim_{x\to1+0}f(x)=1$이어서 좌극한과 우극한이 다르므로, 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 극한이 존재하지 않는다. 또한, 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)\le f(x)\le h(x)$이고 $\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$이면, $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L$이 성립함을 극한의 정의로부터 쉽게 알 수 있다. $\displaystyle x$가 양수이면서 한없이 커질 때 $\displaystyle f(x)$의 값이 일정한 실수 $\displaystyle L$에 한없이 가까워지는 것을 기호로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=L$ 또는 $\displaystyle x\to\infty$일 때 $\displaystyle f(x)\to L$로 나타낸다. 예를 들면 $\displaystyle f(x)=\frac x{2^x}$일 때, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0$이다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 정의되어 있고, $\displaystyle x=a$에서 극한이 존재하며 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$일 때, 이 함수는 $\displaystyle x=a$에서 연속이라고 한다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle I$의 모든 점에서 연속일 때, $\displaystyle f(x)$는 그 구간에서 연속이라고 한다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고 $\displaystyle f(a)\ne f(b)$이면 $\displaystyle f(a)$와 $\displaystyle f(b)$사이에 있는 임의의 값 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle f(c)=k$인 실수 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$사이에 적어도 하나 존재함이 알려져 있다. 이를 중간값의 정리라 한다.

함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 극한 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h\left(=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)$이 존재하는 경우 이 함수는 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하다고 하며 이 극한값을 $\displaystyle f^{\prime}(a)$로 나타낸다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle I$의 모든 점에서 미분가능할 때, $\displaystyle f(x)$는 그 구간에서 미분가능하다고 하며, 구간 $\displaystyle I$에서$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(a)}x$Correction. 보유 교육청 편집본의 분자 $\displaystyle f(a)$와 분모 $\displaystyle x$는 각각 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle h$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.로 정의된 함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$를 $\displaystyle f(x)$의 도함수라고 한다. 구간 $\displaystyle I$의 모든 점 $\displaystyle x$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이면 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle I$에서 증가함수이고, 구간 $\displaystyle I$의 모든 점 $\displaystyle x$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이면 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle I$에서 감소함수이다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하면$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{h\to0}(f(x)-f(a))&=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)\\&=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\lim_{x\to a}(x-a)=f^{\prime}(a)\times0=0\end{aligned}$Correction. 보유 교육청 편집본의 이 식에서 $\displaystyle h\to0$은 $\displaystyle x\to a$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.즉 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$가 성립하므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 연속이다. 한편 $\displaystyle f(x)=|x-1|$는 $\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=0=f(1)$을 만족하므로 $\displaystyle x=1$에서 연속이지만,$\displaystyle \lim_{x\to1-0}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-1\ne1=\lim_{x\to1+0}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$이므로 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하지 않다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$에서 미분가능할 때, $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)$인 실수 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$ 사이에 적어도 하나 존재함이 알려져 있다. 이를 평균값의 정리라 한다.