자연계열 I 2번

[가] 르네 데카르트는 1637년에 발간된 ‘방법서설’을 통하여 수학적 방법을 어떻게 철학을 비롯한 다른 학문에 적용할 수 있는지를 설명하였는데, 그 책의 부록인 ‘기하학’에서 평면 좌표를 도입하여 대수적인 방법으로 중요한 기하적 문제들을 해결할 수 있었다. 평면에 좌표계를 도입하면 각 점은 실수의 순서쌍으로 표현될 수 있고, 기하 곡선은 대수 방정식으로 표현되며, 두 곡선이 만나는 점은 연립방정식을 통하여 구할 수 있기 때문이다. 데카르트의 좌표계는 그때까지 누구도 알지 못했던 대수와 기하 사이의 연결 고리를 찾았다는 점에서 역사적인 혁명과도 같았다. 특히, 좌표평면에서 그래프를 통해 데카르트는 대수방정식을 기하 곡선으로, 마찬가지로 기하 곡선을 대수 방정식, 즉 수치로 나타내는 법을 발견하였고, 두 곡선을 같은 좌표계에 그릴 수 있으며, 이 두 곡선의 교차점은 두 곡선으로 나타내어지는 연립방정식의 해가 된다는 것도 같이 발견하였다. 이로서 데카르트는 오랜 세월 동안 별개라고 생각되었던 대수와 기하를 통합함으로써 해석기하학이라는 분야의 초석을 다지게 되었다.

[나] 삼각형의 면적을 이용하여 좌표평면 위에서 원점과 직선 사이의 거리를 구하는 방법에 대하여 살펴보자. 먼저, 원점과 직선 $\displaystyle 4x+3y=12$과의 거리 $\displaystyle d$를 구하기 위해 이 직선의 $\displaystyle x$절편, $\displaystyle y$절편과 원점이 이루는 삼각형의 면적을 두 가지 방법으로 구해서 서로 같게 놓음으로써 $\displaystyle d=\frac{12}5$를 얻을 수 있다. 이를 일반화하여 원점과 직선의 $\displaystyle x$절편, $\displaystyle y$절편을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 면적을 이용하면 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$가 0이 아닌 실수일 때 원점 $\displaystyle (0,0)$과 직선 $\displaystyle ax+by+c=0$ 사이의 거리 $\displaystyle d$는 $\displaystyle d=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$임을 보일 수 있다.

[다] 아래 그림과 같이 수직으로 교차하는 두 길에서 A는 P지점에서 출발하여 O지점을 향해 시속 $\displaystyle 30\,km$의 균일한 속력으로 달리고, 동시에 B는 O지점에서 출발하여 Q지점을 향해 시속 $\displaystyle 40\,km$의 균일한 속력으로 달린다. P지점과 O지점 사이의 거리가 $\displaystyle 30\,km$일 때, 출발 이후 A와 B사이의 거리의 최솟값을 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용하여 구할 수 있음을 살펴보자. 좌표평면에서 A의 위치를 원점으로 고정한 상태에서 B의 상대적인 위치를 생각해 보면, A와 B사이의 거리의 최솟값은 원점과 직선 $\displaystyle 4x-3y+120=0$사이의 거리임을 알 수 있다. 그러므로 A와 B사이의 거리의 최솟값은 $\displaystyle \frac{120}{\sqrt{4^2+3^2}}=24$이다.

[라] 좌표평면의 점 $\displaystyle (x,y)$를 $\displaystyle x$축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $\displaystyle (x,-y)$이고, $\displaystyle (x,y)$를 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $\displaystyle (y,x)$이다. 점의 대칭이동을 이용하고, 삼각형에서 두변의 길이의 합은 다른 한 변의 길이보다 항상 크다는 사실을 이용하여 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$가 실수일 때, 좌표평면위의 세 점 $\displaystyle (a,a)$, $\displaystyle (b,0)$그리고 $\displaystyle (2,1)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 둘레의 길이의 최솟값 $\displaystyle \sqrt{10}$은 점 $\displaystyle (2,1)$을 $\displaystyle x$축에 대하여 대칭이동한 점과 $\displaystyle (2,1)$을 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이동한 점 사이의 거리이다.