자연계열 II 2번

[가] 직각삼각형의 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 나머지 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형 두 개의 넓이의 합과 같다는 정리인 피타고라스 정리는 고대 그리스의 철학자이자 수학자였던 피타고라스가 처음 발견, 증명한 것으로 일반적으로 알려져 있다. 직각삼각형의 빗변의 길이를 $\displaystyle c$, 다른 두 변의 길이를 각각 $\displaystyle a,b$라고 하면 $\displaystyle a^2+b^2=c^2$이라는 식으로 쓸 수 있다. 피타고라스 정리의 증명은 수백 가지의 다양한 증명 방법이 알려져 있다.

[나] 피타고라스 수는 피타고라스 정리 $\displaystyle a^2+b^2=c^2$를 만족하는 세 자연수 쌍 $\displaystyle (a,b,c)$를 말한다. 만일 $\displaystyle (a,b,c)$가 피타고라스 수라면 모든 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle (ka,kb,kc)$역시 피타고라스 수가 된다. 어떤 피타고라스 수 $\displaystyle (a,b,c)$가 $\displaystyle a,b,c$중 어느 두 수도 서로 소일 때 이를 원시 피타고라스 수라고 한다. $\displaystyle c$가 100보다 작은 원시 피타고라스 수는 아래와 같이 모두 16개가 있다.$\displaystyle (3,4,5)$, $\displaystyle (5,12,13)$, $\displaystyle (7,24,25)$, $\displaystyle (8,15,17)$, $\displaystyle (9,40,41)$, $\displaystyle (11,60,61)$, $\displaystyle (12,35,37)$, $\displaystyle (13,84,85)$, $\displaystyle (16,63,65)$, $\displaystyle (20,21,29)$, $\displaystyle (28,45,53)$, $\displaystyle (33,56,65)$, $\displaystyle (36,77,85)$, $\displaystyle (39,80,89)$, $\displaystyle (48,55,73)$, $\displaystyle (65,72,97)$

[다] 원점을 중심으로 닮음비가 $\displaystyle k$인 닮음변환은 아래와 같은 일차변환이다.$\displaystyle \begin{cases}x^{\prime}=kx\\y^{\prime}=ky\end{cases}\Leftrightarrow\begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$예를 들어, 반지름이 1인 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$을 원점을 중심으로 닮음비가 2인 닮음변환에 의하여 얻어지는 도형은 반지름이 2인 원 $\displaystyle x^2+y^2=4$이다. $\displaystyle (a,b,c)$를 피타고라스 수라 하자. $\displaystyle y=f(x)$를 구간 $\displaystyle [0,c]$에서 정의되고 양의 실수를 함수값으로 갖는 연속함수라 하자. $\displaystyle y=f(x)$를 원점을 중심으로 닮음비가 $\displaystyle \frac ac$인 닮음변환에 의하여 얻어진 함수 $\displaystyle y=g(x)$는 구간 $\displaystyle [0,a]$에서 정의되고 양의 실수를 함수값으로 갖는 연속함수가 된다. 마찬가지 방법으로 $\displaystyle y=f(x)$를 원점을 중심으로 닮음비가 $\displaystyle \frac bc$인 닮음변환에 의하여 얻어진 함수 $\displaystyle y=h(x)$는 구간 $\displaystyle [0,b]$에서 정의되고 양의 실수를 함수값으로 갖는 연속함수가 된다.

연속함수 $\displaystyle f(x),g(x),h(x)$의 그래프를 아래와 같이 $\displaystyle a,b,c$를 세 변으로 갖는 직각삼각형에 그려보자.