자연계열 II 1번

[가] 어떤 규칙에 따라 차례로 나열된 수의 열을 수열이라고 한다. 무한수열은 자연수의 집합을 정의역으로 갖는 함수이다. 다시 말하면, N을 자연수 전체의 집합, R을 실수 전체의 집합이라 할 때, 함수 $\displaystyle f:\mathrm N\to\mathrm R$은 수열이다. 이때, $\displaystyle a_n=f(n)$이라 하면 수열은 $\displaystyle \{a_n\}$으로 표현된다. 예를 들어 두 실수 $\displaystyle a,b$에 대하여 $\displaystyle \max(a,b)$를 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$중 작지 않은 실수라 할 때, $\displaystyle d_1$을 $\displaystyle -1<d_1<0$인 실수라 하고, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle d_{n+1}$을$\displaystyle \max\left\{d_n,-\frac1{n+1}\right\}<d_{n+1}<0$인 실수라 하면 $\displaystyle d_n<d_{n+1}$이므로 수열 $\displaystyle \{d_n\}$은 증가하는 수열이 된다.수열의 몇 가지 성질을 살펴보자. 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a_n<b_n<c_n$을 만족하는 수열 $\displaystyle \{a_n\}$, $\displaystyle \{b_n\}$, $\displaystyle \{c_n\}$에 대하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L$이면 $\displaystyle n$이 한없이 커질 때 $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle c_n$은 실수 $\displaystyle L$에 가까워지며, $\displaystyle a_n$과 $\displaystyle c_n$사이의 수인 $\displaystyle b_n$도 $\displaystyle L$에 가까워진다. 그러므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=L$이다. 위의 수열 $\displaystyle \{d_n\}$에 대하여 $\displaystyle -\frac1n<d_n<0$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}d_n=0$이다. 수열 $\displaystyle \{e_n\}$이 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}e_n=\beta$이고 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle e_n<e_{n+1}$이면, $\displaystyle e_n<\beta$이다. $\displaystyle \lim_{n\to\infty}e_n=\beta$이므로 실수 $\displaystyle \alpha$가 $\displaystyle \alpha<\beta$이면 $\displaystyle e_l>\alpha$가 되는 자연수 $\displaystyle l$이 존재한다.

[나] $\displaystyle x,y$를 $\displaystyle x<y$인 실수라 하자. $\displaystyle 0\le x<y$인 경우를 생각하자. 극한값 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n=0$이므로 $\displaystyle n$이 한없이 커질 때 $\displaystyle \frac1n$은 0에 가까워진다. 그런데 $\displaystyle y-x>0$이므로 $\displaystyle \frac1N<y-x$인 자연수 $\displaystyle N$이 존재한다. 이러한 $\displaystyle N$을 고정시켰을 때, $\displaystyle \lim_{m\to\infty}\frac mN=\infty$이므로 $\displaystyle m$이 한없이 커짐에 따라 $\displaystyle \frac mN$은 한없이 커지고, 따라서 $\displaystyle y<\frac MN$이 되는 자연수 $\displaystyle M$이 존재한다. $\displaystyle y$는 집합$\displaystyle \left(0,\frac MN\right]=\left(0,\frac1N\right]\cup\left(\frac1N,\frac2N\right]\cup\cdots\cup\left(\frac{M-1}N,\frac MN\right]$에 속하므로, $\displaystyle \frac{K-1}N<y\le\frac KN$를 만족하는 $\displaystyle M$보다 같거나 작은 자연수 $\displaystyle K$가 존재한다. $\displaystyle \frac{K-1}N<y\le\frac KN$이고 $\displaystyle \frac1N<y-x$이므로 ①$\displaystyle 0\le x<y$인 두 실수 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$에 대하여 $\displaystyle x<r<y$인 유리수 $\displaystyle r$이 존재한다. $\displaystyle x<y\le0$인 경우를 생각하자. $\displaystyle 0\le-y<-x$이므로 $\displaystyle -y<r<-x$인 유리수가 존재하며, $\displaystyle x<-r<y$이므로 $\displaystyle x<y\le0$을 만족하는 두 실수 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$사이에는 유리수가 존재한다. $\displaystyle x<0<y$인 경우 0은 유리수이므로 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$사이에는 유리수가 존재한다. 따라서 서로 다른 두 실수 사이에는 유리수가 항상 존재한다.