자연계열 3-1번

숙명여대 2011학년도 수시 자연계열 3-1번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2011su/jayeon_3_1

<가> 2,000여 년 전에 만들어진 유클리드 기하학은 직선과 간단한 곡선을 기초로 인간이 만든 건축물의 형태를 잘 묘사해준다. 하지만 그것은 구름, 산악, 해안선과 같은 자연의 형태를 제대로 설명하지 못한다. 구름은 구가 아니고, 산은 원뿔이 아니며, 호수는 타원이 아니다. 자연의 많은 형태를 자세히 관찰해보면, 불규칙하고 헝클어진 외형에도 불구하고 눈에 띄는 특징을 지니고 있음을 알 수 있다. 산에서 떨어져 나온 바위 조각은 산의 모습을 보이며, 나뭇가지는 큰 줄기에서 가장 작은 가지에 이르기까지 동일한 방식으로 갈라지면서 동일한 형태가 반복적으로 나타난다. 이와 같이 자연은 동일한 대상 안에서 다른 규모로 반복되는 형상들로 가득 차 있다.

1975년 만델브로는 바로 그러한 형상에 알맞은 이름으로 프랙털(fractal)이란 용어를 만들어냈다. 프랙털 대상은 큰 구조 안에 작은 구조가 자리 잡고 있으며 각각의 구조는 더 큰 형태의 축소판이다. 프랙털 기하학은 전체에서 볼 수 있는 양상과 그 부분에서 볼 수 있는 양상의 관계를 보여준다.

스웨덴의 수학자 코흐는 수학적으로는 흥미롭지만 혼란스러운 곡선을 만들어냈다. 코흐 곡선은 ‘눈송이(snowflake) 곡선’이라고도 하는데 <그림 1>과 같이 정삼각형에서 시작한다. 처음 정삼각형의 각 변을 3등분하여 가운데 부분을 제거하고 그 부분에 제거한 길이를 한 변으로 하는 정삼각형의 두 변을 꼭짓점이 밖으로 향하도록 연결하여 전체를 별 모양으로 연결한다. 이와 같은 과정을 무한하게 반복하여 얻어지는 도형이 코흐의 눈송이 곡선이다. 이 곡선의 어느 부분이라도 3배로 확대하면 이전 단계의 모습을 찾을 수 있으며, 그 길이는 무한하지만 곡선에 둘러싸인 부분의 면적은 처음 정삼각형 면적의 $\displaystyle \frac85$ 배이다.

눈송이 곡선의 들쭉날쭉한 모양은 해안선의 모양과 놀라운 유사성을 지닌다. 구불구불한 해안선이 그려진 지도는 축척이 작아지면서 지도가 자세해질수록 만과 곶의 세부 윤곽이 드러나고 해안선의 길이는 더욱더 길어진다. 이런 식으로 해안선의 길이를 정확하게 측정하려고 하면 아주 특이한 사실이 드러난다. 즉 점점 더 작은 자(측정단위)를 사용하여 해안선을 측정하면 해안선의 길이는 한없이 증가하는 것같이 보인다.

실제로 ‘측정 단위’를 $\displaystyle L$ 의 비율로 축소하면 해안선의 길이는 $\displaystyle L^n$ 의 비율로 증가하는 것으로 밝혀졌다( $\displaystyle n$ 은 음의 상수). 예를 들어 만약 $\displaystyle n=-\frac12$ 일 때 측정 단위를 절반으로 줄이면 해안선의 길이는 $\displaystyle \frac12$ 의 $\displaystyle -\frac12$ 제곱, 즉 $\displaystyle \sqrt2$ 배가 된다. 지수 $\displaystyle n$ 과 차원 개념 사이의 관계를 만델브로가 발견하였는데 차원을 $\displaystyle D$ 로 나타내면 그 관계식은 $\displaystyle 1-D=n$ 이다. 위의 예에서 $\displaystyle n=-\frac12$ 이므로 $\displaystyle D=1.5$ 이다. 이것은 1차원과 2차원의 중간 차원이라는 새로운 차원의 개념이다. 전 세계의 많은 해안선에서 차원 $\displaystyle D$ 의 값은 대략 1.15에서 1.25의 범위에 있는데 해안선의 모양이 복잡할수록 $\displaystyle D$ 의 값은 커진다.

<나> 프랙털 기하학은 현대 과학과 공학의 여러 분야에서 활용되고 있다. 휴대폰 밖으로 길게 뽑아 사용하던 안테나를 휴대폰 안으로 내장하는 기술을 개발하는 데 사용된 것도 프랙털 기하학이다. 휴대폰에서 사용되는 음성통신, 무선인터넷, 블루투스, GPS 등 여러 가지 통신에는 다른 주파수 대역이 사용되고, 특정 주파수 대역의 전파를 수신하기 위해서는 다른 길이의 안테나가 사용되어야 한다. 프랙털 기하 패턴의 안테나 디자인은 휴대폰 안에 내장될 정도의 작은 크기의 안테나로 다대역(multi-band) 전파 수신을 가능하게 만들었다. 내장 안테나 디자인에 적용되는 기하 패턴에 따라 안테나의 성능은 크게 달라지는데, 휴대폰에 적용되는 내장 안테나의 기하 패턴 중 하나가 힐버트 곡선 프랙털(Hilbert Curves Fractal)이다. 힐버트 곡선 프랙털은 <그림 2>의 (a)～(d)에 나타난 것과 같이 각 단계는 이전 단계의 패턴 4개로 구성되며, 이러한 반복적 구성을 통하여 자기 유사성을 갖게 된다. <그림 3>은 실제 무선장비에 사용되는 안테나 사진이다.

3-1 a. 제시문 <가>의 해안선 길이 측정에서 측정단위 $\displaystyle U_1$ 을 사용하여 측정한 길이를 $\displaystyle P_1$ , 측정단위 $\displaystyle U_2$ 를 사용하여 측정한 길이를 $\displaystyle P_2$ 라 할 때, 차원 $\displaystyle D$ 를 $\displaystyle U_i,P_i,n\ (i=1,2)$ 을 이용하여 식으로 나타내시오(풀이 과정과 답을 모두 쓰시오).

b. 제시문 <나>에서 제시된 안테나 디자인에서 프랙털 기하 패턴을 만드는 단계를 무한 반복하여 만들어지는 곡선의 차원 $\displaystyle D$ 를 구하고, 그 값이 어떤 의미를 갖는지 설명하시오(풀이 과정과 답을 모두 쓰시오).

해설강의 준비중

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공통 · ① 제시문제에 대한 풀이과정의 적절성과 논리적 전개

a. 제시문 <가>에서 “측정 단위를 $\displaystyle L$ 의 비율로 축소하면 해안선의 길이는 $\displaystyle L^n$ 의 비율로 증가한다( $\displaystyle n$ 은 음의 상수)”고 했으므로, 척도 변화에 따른 해안선의 길이의 변화는 $\displaystyle P_2=L^nP_1=\left(\frac{U_2}{U_1}\right)^nP_1$ 이고 이를 정리하면 $\displaystyle \left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\left(\frac{U_2}{U_1}\right)^n$ 이 된다.이 식에 $\displaystyle 1-D=n$ 을 대입하면 $\displaystyle \left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\left(\frac{U_2}{U_1}\right)^{1-D}$ 이 되고 $\displaystyle D$ 값을 구하기 위해 이 식의 양 변에 로그를 취하여 나타내면 $\displaystyle \log\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\log\left(\left(\frac{U_2}{U_1}\right)^{(1-D)}\right)=(1-D)\log\left(\frac{U_2}{U_1}\right)$ 이 된다.따라서 이를 $\displaystyle D$ 값으로 정리하면 3-1. a의 답은 $\displaystyle D=1-\frac{\log(P_2/P_1)}{\log(U_2/U_1)}$ 또는 $\displaystyle D=1-\frac{\log P_2-\log P_1}{\log U_2-\log U_1}$ 이 된다.

b. 안테나 디자인의 힐버트 곡선을 만드는 각 단계와 다음 단계의 측정단위의 축소비율은 ½이고 이때 곡선의 길이는 2배가 되므로 3-1 a의 식에서Comment. 유한한 각 단계에서 곡선의 길이가 정확히 두 배가 되지는 않는다. 예를 들어 그림의 두 단계에서는 길이의 비가 $\displaystyle (63/8)/(15/4)=21/10$ 이다. 단계가 커질수록 다음 단계와 이전 단계의 길이의 비가 $\displaystyle 2$ 에 가까워진다는 뜻으로 해석하면 차원에 관한 결론을 얻을 수 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle D=1-\frac{\log\frac21}{\log\frac12}=1-\frac{\log2}{\log(2^{-1})}=1-\frac{\log2}{-\log2}=1+1=2$ $\displaystyle D=2$ 라는 것은 평면을 의미하며, 이는 안테나 디자인의 프랙털 기하 패턴을 무한히 반복하여 얻어지는 힐버트 곡선이 평면을 이룬다는 뜻이다. 다시 말해 힐버트 곡선이 평면 위의 모든 점을 지나게 됨을 의미한다.

* 제시문에 나와 있는 $\displaystyle 1-D=n$ 를 근거로 하여, 3-1. a에 대한 서술로 $\displaystyle D=1-n$ 만을 답으로 쓴 경우 3-1. a에 대해 2점만 인정

* 3-1. a에 대한 서술로 $\displaystyle D=1-n$ 만을 썼으나, 3-2. b의 풀이과정이 맞은 경우는 3-1. a에 6점 전체를 인정함.

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