자연계열 3-2번

<가> 2,000여 년 전에 만들어진 유클리드 기하학은 직선과 간단한 곡선을 기초로 인간이 만든 건축물의 형태를 잘 묘사해준다. 하지만 그것은 구름, 산악, 해안선과 같은 자연의 형태를 제대로 설명하지 못한다. 구름은 구가 아니고, 산은 원뿔이 아니며, 호수는 타원이 아니다. 자연의 많은 형태를 자세히 관찰해보면, 불규칙하고 헝클어진 외형에도 불구하고 눈에 띄는 특징을 지니고 있음을 알 수 있다. 산에서 떨어져 나온 바위 조각은 산의 모습을 보이며, 나뭇가지는 큰 줄기에서 가장 작은 가지에 이르기까지 동일한 방식으로 갈라지면서 동일한 형태가 반복적으로 나타난다. 이와 같이 자연은 동일한 대상 안에서 다른 규모로 반복되는 형상들로 가득 차 있다.

1975년 만델브로는 바로 그러한 형상에 알맞은 이름으로 프랙털(fractal)이란 용어를 만들어냈다. 프랙털 대상은 큰 구조 안에 작은 구조가 자리 잡고 있으며 각각의 구조는 더 큰 형태의 축소판이다. 프랙털 기하학은 전체에서 볼 수 있는 양상과 그 부분에서 볼 수 있는 양상의 관계를 보여준다.

스웨덴의 수학자 코흐는 수학적으로는 흥미롭지만 혼란스러운 곡선을 만들어냈다. 코흐 곡선은 ‘눈송이(snowflake) 곡선’이라고도 하는데 <그림 1>과 같이 정삼각형에서 시작한다. 처음 정삼각형의 각 변을 3등분하여 가운데 부분을 제거하고 그 부분에 제거한 길이를 한 변으로 하는 정삼각형의 두 변을 꼭짓점이 밖으로 향하도록 연결하여 전체를 별 모양으로 연결한다. 이와 같은 과정을 무한하게 반복하여 얻어지는 도형이 코흐의 눈송이 곡선이다. 이 곡선의 어느 부분이라도 3배로 확대하면 이전 단계의 모습을 찾을 수 있으며, 그 길이는 무한하지만 곡선에 둘러싸인 부분의 면적은 처음 정삼각형 면적의 $\displaystyle \frac85$배이다.

눈송이 곡선의 들쭉날쭉한 모양은 해안선의 모양과 놀라운 유사성을 지닌다. 구불구불한 해안선이 그려진 지도는 축척이 작아지면서 지도가 자세해질수록 만과 곶의 세부 윤곽이 드러나고 해안선의 길이는 더욱더 길어진다. 이런 식으로 해안선의 길이를 정확하게 측정하려고 하면 아주 특이한 사실이 드러난다. 즉 점점 더 작은 자(측정단위)를 사용하여 해안선을 측정하면 해안선의 길이는 한없이 증가하는 것같이 보인다.

실제로 ‘측정 단위’를 $\displaystyle L$의 비율로 축소하면 해안선의 길이는 $\displaystyle L^n$의 비율로 증가하는 것으로 밝혀졌다($\displaystyle n$은 음의 상수). 예를 들어 만약 $\displaystyle n=-\frac12$일 때 측정 단위를 절반으로 줄이면 해안선의 길이는 $\displaystyle \frac12$의 $\displaystyle -\frac12$제곱, 즉 $\displaystyle \sqrt2$배가 된다. 지수 $\displaystyle n$과 차원 개념 사이의 관계를 만델브로가 발견하였는데 차원을 $\displaystyle D$로 나타내면 그 관계식은 $\displaystyle 1-D=n$이다. 위의 예에서 $\displaystyle n=-\frac12$이므로 $\displaystyle D=1.5$이다. 이것은 1차원과 2차원의 중간 차원이라는 새로운 차원의 개념이다. 전 세계의 많은 해안선에서 차원 $\displaystyle D$의 값은 대략 1.15에서 1.25의 범위에 있는데 해안선의 모양이 복잡할수록 $\displaystyle D$의 값은 커진다.

<다> 주식시장에서 주가의 변동은 매우 무질서한 것처럼 보인다. <그림 4>와 같이 주가는 불규칙하고 혼란스럽게 등락을 거듭한다. 그래서 전혀 예기치 못한 주식시장의 변화로 낭패를 보는 전문가들 소식을 심심찮게 들을 수 있다. 다른 관점에서 보면, 주가 변동에는 어떤 질서가 존재하는 것처럼 보이기도 한다. 이러한 예는 산업별 주가 변동에서 발견할 수 있다. 이를테면 금융업이나 반도체 종목에 속하는 주식들은 주가 변동이 비슷하다.

그렇다면 주가 변동은 예측 가능한가? 경제학자 K는 주가 변동 양상의 전형적인 모델로 <그림 5>와 같은 일정한 규칙성을 보이는 패턴을 제시하면서, 주가 변동이 단기적으로든 장기적으로든 예측 가능하다고 주장한다. K가 그렇게 주장하는 근거는 다음과 같다. 투자자 개개인은 합리적으로 판단하고 행동하는 것처럼 보이지만, 그들의 정보나 지식은 불충분할 수밖에 없고, 그리하여 불확실한 상황을 받아들이는 상태에서 다른 사람들의 의견이나 행동에 반응하면서 행동할 수밖에 없다. 또한 개인은 집단에 소속될 수밖에 없고, 집단의 평가는 무리지어 행동하려는 충동(herding impulse)에 따라 무의식적으로 결정된다. 따라서 시장에 참여하는 사람들은 사회적 분위기 변화에 따라 행동하는 군중의 속성을 지닌다. 예를 들어, 월스트리트의 투자자들도 마찬가지다. 날마다 투자자들은 같은 신문을 읽고, 같은 TV 쇼를 보며, 동일한 시장 지표가 오르내리는 것을 지켜본다. 이처럼 군중들은 모두 하나의 본성을 지니고 있고 이를 반영하는 행동 양식을 지니고 있기 때문에, 그들의 감정적 변화는 상당한 정도로 예측 가능하다. 마찬가지로 인간의 의사결정과 경제활동의 집단적 변화도 예측 가능하다.