자연계열 2-3번

■ 2-3모든 세 자리 수를 단 한 번씩만 포함하고 마지막 두 숫자가 $\displaystyle 11$인 수열을 생각하자. 만일 이 수열을 첫 두 숫자가 $\displaystyle 11$이 아니라면 $\displaystyle 111$과 $\displaystyle 112$는 이 수열의 맨 앞의 세 자리가 아니므로 수열의 중간 어디엔가 두 번 나오게 된다. 또한 아 수열의 마지막 두 숫자가 $\displaystyle 11$이므로, 이 수열은 $\displaystyle 11$로 끝나는 세 자리 수를 $\displaystyle 3$개 포함하고 있다. 하지만 $\displaystyle 11$로 끝나는 세 자리 수는 $\displaystyle 111$ 또는 $\displaystyle 211$의 두 가지 밖에 없으므로 이 수열이 모든 세 자리 수를 단 한 번씩만 포함하고 있다는 가정에 모순이다. 따라서 이 수열의 첫 두 숫자는 $\displaystyle 11$이다.Correction. 모범 답안 예시 2-3의 ‘이 수열을 첫 두 숫자’와 ‘아 수열’은 각각 ‘이 수열의 첫 두 숫자’와 ‘이 수열’의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

수열의 마지막 두 숫자가 $\displaystyle 11$이 아니라 $\displaystyle 12$, $\displaystyle 21$ 또는 $\displaystyle 22$인 경우에도 마찬가지 방법으로 맨 앞의 두 숫자가 마지막 두 숫자와 같아짐을 증명 할 수 있다.