자연계열 2-2번

■ 2-2(a)제시문 <나>에서 $\displaystyle \tan\alpha=\frac{3-\frac x2}x$, $\displaystyle \tan\beta=\frac{1-\frac x2}x$이고, 따라서$\displaystyle \tan\theta=\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\frac{\frac{3-\frac x2}x-\frac{1-\frac x2}x}{1+\frac{(3-\frac x2)(1-\frac x2)}{x^2}}=\frac{8x}{5x^2-8x+12}$이다. 여기서 $\displaystyle \tan\theta$는 $\displaystyle \theta\in[0,\pi/2)$에서 증가하므로 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{8x}{5x^2-8x+12}$가 최댓값을 갖는 $\displaystyle x$를 구하면 이 $\displaystyle x$가 점 $\displaystyle \mathrm O$에서 각 $\displaystyle \angle\mathrm{APB}$가 최대가 되는 양의 $\displaystyle x$축 위의 점 $\displaystyle \mathrm P$의 $\displaystyle x$좌표이다. 한편,$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{-8(5x^2-12)}{(5x^2-8x+12)^2}=0$이면 $\displaystyle x^2=\frac{12}5$이므로 $\displaystyle x$는 $\displaystyle \sqrt{\frac{12}5}$이다. 즉, 점 $\displaystyle \mathrm P$의 좌표는 $\displaystyle \left(\sqrt{\frac{12}5},\frac12\sqrt{\frac{12}5}\right)$이다.Correction. 기본 풀이의 “점 $\displaystyle \mathrm O$에서”와 “양의 $\displaystyle x$축 위”는 각각 “점 $\displaystyle \mathrm P$에서”와 “직선 $\displaystyle y=\frac{x}{2}~(x>0)$ 위”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이제 $\displaystyle \mathrm A(0,1)$, $\displaystyle \mathrm B(0,3)$, $\displaystyle \mathrm P\left(\sqrt{\frac{12}5},\frac12\sqrt{\frac{12}5}\right)$를 지나는 원의 방정식을$\displaystyle x^2+y^2+ax+by+c=0$이라 하자. 이 원은 $\displaystyle \mathrm A(0,1)$, $\displaystyle \mathrm B(0,3)$을 지나므로$\displaystyle 1+b+c=0,\quad9+3b+c=0\ \Rightarrow\ b=-4,c=3$이고 원의 방정식은 $\displaystyle x^2+y^2+ax-4y+3=0$이 된다. 또한 점 $\displaystyle \mathrm P\left(\sqrt{\frac{12}5},\frac12\sqrt{\frac{12}5}\right)$를 지나므로$\displaystyle \begin{aligned}\frac{12}5+\frac{12}{20}+\sqrt{\frac{12}5}a-2\sqrt{\frac{12}5}+3=0&\ \Rightarrow\ \sqrt{\frac{12}5}a-2\sqrt{\frac{12}5}+6=0\\&\ \Rightarrow\ a=2-\sqrt{15}\end{aligned}$이고, 구하는 원의 방정식은$\displaystyle x^2+y^2+(2-\sqrt{15})x-4y+3=0$이다. 이제 $\displaystyle y=\frac x2$를 대입하면$\displaystyle \frac54x^2-\sqrt{15}x+3=0$이고 이 방정식의 판별식은 $\displaystyle D=15-4\cdot\frac54\cdot3=0$이므로 세 점 $\displaystyle \mathrm A$, $\displaystyle \mathrm B$, $\displaystyle \mathrm P$를 지나는 원은 직선 $\displaystyle y=\frac x2$에 접한다.

<다른 풀이>위의 풀이로부터 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{8x}{5x^2-8x+12}$가 최댓값을 갖는 $\displaystyle x$를 구하면 이 $\displaystyle x$가 점 $\displaystyle \mathrm O$에서 각 $\displaystyle \angle\mathrm{APB}$가 최대가 되는 양의 $\displaystyle x$축 위의 점 $\displaystyle \mathrm P$의 $\displaystyle x$좌표임을 알 수 있다. 한편,$\displaystyle f(x)=\frac{8x}{5x^2-8x+12}=\frac8{5x-8+\frac{12}x}$에서 $\displaystyle x>0$임을 이용하여 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하면 $\displaystyle 5x+\frac{12}x\ge4\sqrt{15}$이므로$\displaystyle f(x)\le\frac8{4\sqrt{15}-8}$임을 알 수 있다. 이 때, 등호는 $\displaystyle 5x=\frac{12}x$, 즉 $\displaystyle x=\sqrt{\frac{12}5}$일 때 성립한다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm P$의 좌표는 $\displaystyle \left(\sqrt{\frac{12}5},\frac12\sqrt{\frac{12}5}\right)$이다.Correction. <다른 풀이>의 “점 $\displaystyle \mathrm O$에서”와 “양의 $\displaystyle x$축 위”는 각각 “점 $\displaystyle \mathrm P$에서”와 “직선 $\displaystyle y=\frac{x}{2}~(x>0)$ 위”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

세 점 $\displaystyle \mathrm A$, $\displaystyle \mathrm B$, $\displaystyle \mathrm P$를 지나는 원 $\displaystyle x^2+y^2+(2-\sqrt{15})x-4y+3=0$과 직선 $\displaystyle y=\frac x2$이 서로 접함도 다른 방법들을 이용하여 증명할 수 있다. 원의 방정식으로부터 원의 중심이 $\displaystyle \left(-1+\frac{\sqrt{15}}2,2\right)$이고 반지름이 $\displaystyle \sqrt{\frac{23}4-\sqrt{15}}$임을 알 수 있다. 이제 다음 둘 중 하나를 보이면 증명이 끝난다.(1) 원의 중심 $\displaystyle \left(-1+\frac{\sqrt{15}}2,2\right)$에서 직선 $\displaystyle y=\frac x2$까지의 거리가 반지름 $\displaystyle \sqrt{\frac{23}4-\sqrt{15}}$와 같다.(2) 원의 중심과 점 $\displaystyle \mathrm P$를 잇는 직선의 기울기가 $\displaystyle -2$이므로 이 직선은 $\displaystyle y=\frac x2$와 점 $\displaystyle \mathrm P$에서 서로 수직으로 만난다.

■ 2-2(b)두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PA}}=(-x,-2-y,1)$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PB}}=(-x,2-y,-1)$이 이루는 각의 크기가 $\displaystyle \theta$이므로$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PA}}||\overrightarrow{\mathrm{PB}}|}=\frac{x^2-(4-y^2)-1}{\sqrt{x^2+(2+y)^2+1}\sqrt{x^2+(2-y)^2+1}}$이다. 이제 $\displaystyle x^2=16-y^2$이므로$\displaystyle \cos\theta=\frac{11}{\sqrt{21+4y}\sqrt{21-4y}}$이다. 함수 $\displaystyle y=\cos\theta$는 구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$에서 감소하므로 $\displaystyle f(y)=-16y^2+441$이 최댓값을 갖는 $\displaystyle y$에서 각 $\displaystyle \theta$가 최대가 된다. 따라서 $\displaystyle y=0$일 때, 각 $\displaystyle \theta$가 최대가 되며 $\displaystyle x^2=16-y^2$이고 $\displaystyle x>0$이므로 $\displaystyle x=4$이다. 즉 구하는 점 $\displaystyle \mathrm P$의 좌표는 $\displaystyle (4,0,0)$이다.

<참고>고등학교 교육과정을 벗어나지만 코사인 제2법칙을 이용하여 $\displaystyle \cos\theta$를 구할 수도 있다.$\displaystyle |\overline{\mathrm{PA}}|=\sqrt{x^2+(2+y)^2+1},\quad |\overline{\mathrm{PB}}|=\sqrt{x^2+(2-y)^2+1},\quad |\overline{\mathrm{AB}}|=\sqrt{20}$이므로$\displaystyle \cos\theta=\frac{|\overline{\mathrm{PA}}|^2+|\overline{\mathrm{PB}}|^2-|\overline{\mathrm{AB}}|^2}{2|\overline{\mathrm{PA}}||\overline{\mathrm{PB}}|}=\frac{2x^2+2y^2-10}{2\sqrt{(x^2+y^2+5)^2-16y^2}}$이다. 이제 $\displaystyle x^2+y^2=16$임을 이용하면$\displaystyle \cos\theta=\frac{11}{\sqrt{21^2-16y^2}}$을 얻는다.