자연계열 2-1번

■ 2-1편의상 $\displaystyle n$명의 관객을 $\displaystyle A_1$, $\displaystyle A_2$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle A_n$이라 하고 이들의 극장표에 적혀있는 좌석을 각각 $\displaystyle S_1$, $\displaystyle S_2$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle S_n$이라 하자. 그리고 마지막 $\displaystyle n$번째 관객이 자신의 원래 자리에 앉을 확률을 $\displaystyle b_n$이라 하자. 먼저 $\displaystyle n=3$일 때 그 확률 $\displaystyle b_3$을 구해보자. 3자리 중에서 $\displaystyle A_1$, $\displaystyle A_2$가 임의로 앉을 경우의 수는 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{P}_{2}=6$이고, $\displaystyle A_3$가 자신의 자리 $\displaystyle S_3$에 앉기 위해서는 $\displaystyle A_1$과 $\displaystyle A_2$가 각각 자신의 자리에 앉거나 서로 바꿔 앉는 경우 두 가지가 있으므로 $\displaystyle b_3=\frac13$이 된다.

이제 모든 자연수 $\displaystyle n\ge3$에 대하여 $\displaystyle b_{n+1}=b_n$임을 보이자. 즉, 마지막 관객이 자신의 원래 자리에 앉을 확률은 관객의 수에 관계없이 일정함을 보이자. 관객의 수가 $\displaystyle (n+1)$명이라 하고, (i) $\displaystyle A_1$이 $\displaystyle S_3$을 선택한 경우, (ii) $\displaystyle A_1$이 $\displaystyle S_3$을 선택하지 않고 $\displaystyle A_2$가 $\displaystyle S_3$을 선택한 경우, (iii) $\displaystyle A_1$과 $\displaystyle A_2$가 모두 $\displaystyle S_3$을 선택하지 않은 경우로 나누어서 생각한다.

(i) $\displaystyle A_1$이 $\displaystyle S_3$을 선택한 경우:이 경우는 세 번째 관객 $\displaystyle A_3$은 임의로 자신의 자리를 선택하여야 한다. 따라서 $\displaystyle A_1$은 제외하고 $\displaystyle A_2$와 $\displaystyle A_3$을 각각 새로운 첫 번째 두 번째 관객으로 바꾸어 생각하면 관객이 $\displaystyle n$명 있을 때와 상황이 같아진다. 따라서 $\displaystyle A_1$이 $\displaystyle S_3$을 선택하고 $\displaystyle A_{n+1}$이 $\displaystyle S_{n+1}$에 앉을 확률은 $\displaystyle \frac1{n+1}b_n$이다.

(ii) $\displaystyle A_1$이 $\displaystyle S_3$을 선택하지 않고 $\displaystyle A_2$가 $\displaystyle S_3$을 선택한 경우:이 경우에도 마찬가지로 세 번째 관객 $\displaystyle A_3$은 임의로 자리를 선택하여야 하므로 $\displaystyle A_2$를 제외하고 $\displaystyle A_1$과 $\displaystyle A_3$을 각각 새로운 첫 번째 두 번째 관객으로 바꾸어 생각하면 관객이 $\displaystyle n$명 있을 때와 상황이 같아진다. 따라서 $\displaystyle A_1$은 $\displaystyle S_3$을 선택하지 않고 $\displaystyle A_2$는 $\displaystyle S_3$을 선택하며 $\displaystyle A_{n+1}$이 $\displaystyle S_{n+1}$에 앉을 확률은 $\displaystyle \left(\frac n{n+1}\right)\left(\frac1n\right)b_n$이다.

(iii) $\displaystyle A_1$과 $\displaystyle A_2$가 모두 $\displaystyle S_3$을 선택하지 않은 경우:이 경우에는 $\displaystyle A_3$은 자신의 원래 자리에 앉게 되므로 $\displaystyle A_3$을 제외하고 생각하면 관객이 $\displaystyle n$명 있을 때와 상황이 같아진다. 따라서 $\displaystyle A_1$과 $\displaystyle A_2$가 모두 $\displaystyle S_3$을 선택하지 않고 $\displaystyle A_{n+1}$이 $\displaystyle S_{n+1}$에 앉을 확률은 $\displaystyle \left(\frac n{n+1}\right)\left(\frac{n-1}n\right)b_n$이다.

따라서 확률 $\displaystyle b_{n+1}$을 구하면$\displaystyle b_{n+1}=\left(\frac1{n+1}\right)b_n+\left(\frac n{n+1}\right)\left(\frac1n\right)b_n+\left(\frac n{n+1}\right)\left(\frac{n-1}n\right)b_n=b_n$이다. 그러므로 관객 $\displaystyle 100$명이 있을 때 $\displaystyle 100$번째 관객이 자신의 원래 자리에 앉을 확률은$\displaystyle b_{100}=b_{99}=\cdots=b_3=\frac13$이다.