자연계열 1-1번

<가>로그함수 $\displaystyle y=\ln x$의 그래프가 위로 볼록하다는 성질을 이용하여 임의의 양수 $\displaystyle a,b$에 대하여$\displaystyle ab\le\frac13a^3+\frac23b^{\frac32}\qquad(1)$이 성립함을 다음과 같이 보일 수 있다.

먼저 $\displaystyle a^3<b^{\frac32}$인 경우, <그림 1>과 같이 $\displaystyle y=\ln x$의 그래프 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm P(a^3,\ln a^3)$, $\displaystyle \mathrm Q(b^{\frac32},\ln b^{\frac32})$을 생각하자. $\displaystyle y=\ln x$의 그래프가 위로 볼록하기 때문에 두 점 $\displaystyle \mathrm P,\mathrm Q$ 사이의 그래프가 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$보다 위에 놓여 있다. 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$를 $\displaystyle 2:1$로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm S$라고 하면 $\displaystyle \mathrm S$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac13a^3+\frac23b^{\frac32},\frac13\ln a^3+\frac23\ln b^{\frac32}\right)$이다. $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle \frac13a^3+\frac23b^{\frac32}$인 $\displaystyle y=\ln x$의 그래프 위의 점을 $\displaystyle \mathrm T$라 할 때, $\displaystyle \mathrm T$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \mathrm S$의 $\displaystyle y$좌표보다 크다. 따라서$\displaystyle \ln(ab)=\frac13\ln a^3+\frac23\ln b^{\frac32}<\ln\left(\frac13a^3+\frac23b^{\frac32}\right)$이다. 그러므로$\displaystyle ab=e^{\ln(ab)}<e^{\ln(\frac13a^3+\frac23b^{\frac32})}=\frac13a^3+\frac23b^{\frac32}$이다.

$\displaystyle a^3>b^{\frac32}$인 경우도 위와 비슷한 방법으로 $\displaystyle ab<\frac13a^3+\frac23b^{\frac32}$을 보일 수 있다. 한편, $\displaystyle a^3=b^{\frac32}$이면 $\displaystyle a^2=b$이므로 $\displaystyle ab=a^3=\frac13a^3+\frac23a^3=\frac13a^3+\frac23b^{\frac32}$이다. 따라서 $\displaystyle a^3=b^{\frac32}$일 때 부등식 (1)의 등호가 성립한다.

위와 비슷한 방법을 이용하여 임의의 양수 $\displaystyle a,b$에 대하여$\displaystyle ab\le\frac14a^4+\frac34b^{\frac43}\qquad(2)$이 성립함을 보일 수 있다.