자연계열 1-3번

<다><그림 2>와 같이 평면 위에 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$와 그 직사각형 내부의 한 점 $\displaystyle \mathrm P$가 있을 때 등식$\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}^2+\overline{\mathrm{PC}}^2=\overline{\mathrm{PB}}^2+\overline{\mathrm{PD}}^2\qquad(8)$이 성립함을 다음과 같이 보일 수 있다.점 $\displaystyle \mathrm P$에서 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 직선 $\displaystyle \mathrm{CD}$에 내린 수선의 발을 각각 점 $\displaystyle \mathrm R$, $\displaystyle \mathrm S$라 할 때, 피타고라스의 정리에 의하여$\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}^2=\overline{\mathrm{PR}}^2+\overline{\mathrm{RA}}^2,\quad\overline{\mathrm{PC}}^2=\overline{\mathrm{PS}}^2+\overline{\mathrm{SC}}^2,$$\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}^2=\overline{\mathrm{PR}}^2+\overline{\mathrm{RB}}^2,\quad\overline{\mathrm{PD}}^2=\overline{\mathrm{PS}}^2+\overline{\mathrm{SD}}^2$이다. 그런데 직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$와 $\displaystyle \mathrm{CD}$는 서로 평행하고 직선 $\displaystyle \mathrm{RS}$는 이 두 직선에 수직이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{RA}}=\overline{\mathrm{SD}}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{RB}}=\overline{\mathrm{SC}}$이다. 따라서 등식 (8)은 성립한다. 점 $\displaystyle \mathrm P$가 <그림 2>와는 다르게 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$의 외부에 있어도 등식 (8)이 성립함을 비슷한 방법으로 보일 수 있다.

이제 좌표평면 위에 중심이 원점이고 반지름의 길이가 각각 $\displaystyle 1,2,3,4$인 동심원 네 개가 있다고 하자. 위에서 보인 사실을 이용하면 꼭짓점이 이 네 원에 각각 한 개씩 있는 직사각형이 존재하지 않음을 다음과 같이 귀류법을 사용하여 보일 수 있다. 이러한 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$가 존재한다고 가정하자. 등식 (8)에서 점 $\displaystyle \mathrm P$를 원점 $\displaystyle \mathrm O$로 두면 등식$\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}^2+\overline{\mathrm{OC}}^2=\overline{\mathrm{OB}}^2+\overline{\mathrm{OD}}^2\qquad(9)$이 성립한다. 이때 선분 $\displaystyle \mathrm{OA}$, $\displaystyle \mathrm{OB}$, $\displaystyle \mathrm{OC}$, $\displaystyle \mathrm{OD}$는 네 동심원의 반지름이다. 따라서 등식 (9)에 의하여 반지름의 길이의 최솟값의 제곱과 최댓값의 제곱의 합이 다른 두 반지름의 길이의 제곱의 합과 같아야 한다. 그런데 네 원의 반지름의 길이가 각각 $\displaystyle 1,2,3,4$이므로 $\displaystyle 1^2+4^2\ne2^2+3^2$이 되어 등식 (9)가 성립하지 않는다. 따라서 꼭짓점이 이 네 동심원에 각각 한 개씩 있는 직사각형은 존재하지 않는다.