자연계열 1-3번

■ 1-3(a)선분 $\displaystyle \mathrm{XY}$와 $\displaystyle \mathrm{XZ}$가 서로 수직이므로 평면 위의 한 점 $\displaystyle \mathrm W$에 대하여 사각형 $\displaystyle \mathrm{XYWZ}$가 직사각형이 된다. 따라서$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{XZ}}+\overrightarrow{\mathrm{OY}}=\overrightarrow{\mathrm{YW}}+\overrightarrow{\mathrm{OY}}=\overrightarrow{\mathrm{OW}}$

이고 제시문에서 주어진 직사각형의 성질에 의하여$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{OX}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{OW}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{OZ}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{OY}}|^2$이므로$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{XZ}}+\overrightarrow{\mathrm{OY}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{OW}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{OZ}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{OY}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{OX}}|^2=4^2+2^2-3^2=11$이다. 따라서 답은 $\displaystyle \sqrt{11}$이다.

■ 1-3(b)주어진 조건을 만족시키는 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$가 존재한다고 가정하자. 점 $\displaystyle \mathrm P$를 원점 $\displaystyle \mathrm O$로 두면 직사각형의 성질에 의하여 등식 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}^2+\overline{\mathrm{OC}}^2=\overline{\mathrm{OB}}^2+\overline{\mathrm{OD}}^2$을 만족시킨다. 선분 $\displaystyle \mathrm{OA}$, $\displaystyle \mathrm{OB}$, $\displaystyle \mathrm{OC}$, $\displaystyle \mathrm{OD}$는 각각 동심원들의 반지름이 된다. 따라서 이 식을 만족시키려면 반지름의 길이의 최솟값의 제곱과 최댓값의 제곱의 합이 다른 두 반지름의 길이의 제곱의 합이 되어야 한다. 네 원의 반지름의 길이를 각각 $\displaystyle a,a+d,a+2d,a+3d$으로 두면 등식$\displaystyle a^2+(a+3d)^2=(a+d)^2+(a+2d)^2$을 만족시켜야 한다.

즉, $\displaystyle 9d^2=5d^2$이 되어 $\displaystyle d=0$이다. 그런데 공차 $\displaystyle d$는 양수이므로 모순이다. 그러므로 꼭짓점이 이 네 원에 각각 한 개씩 있는 직사각형이 존재하지 않는다.