자연계열 1-2번

<나>닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 증가하는 삼각함수 $\displaystyle y=\sin x$에 대한 부등식$\displaystyle \left(\int_0^t\sin x\,dx\right)^2\ge\int_0^t\sin^3x\,dx\quad(0\le t\le1)$은 성립한다. 이는$\displaystyle u(t)=\left(\int_0^t\sin x\,dx\right)^2-\int_0^t\sin^3x\,dx$라 두면,$\displaystyle u(0)=0,\quad u^{\prime}(t)=8\cos\frac t2\sin^5\frac t2\ge0$로부터 알 수 있다. 단, $\displaystyle u^{\prime}(t)\ge0$의 자세한 계산은 생략한다.

한편 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 증가하는 함수 $\displaystyle y=e^x-1$에 대한 부등식$\displaystyle \left(\int_0^te^x-1\,dx\right)^2\le\int_0^t(e^x-1)^3\,dx\quad(0\le t\le1)$은 성립한다. 이는$\displaystyle v(t)=\left(\int_0^te^x-1\,dx\right)^2-\int_0^t(e^x-1)^3\,dx$라 두면,$\displaystyle v(0)=0,\quad v^{\prime}(t)=-(e^t-1)(e^{2t}-4e^t+2t+3)\le0$로부터 알 수 있다. 단, $\displaystyle v^{\prime}(t)\le0$의 자세한 계산은 생략한다.

위의 두 함수 $\displaystyle y=\sin x$, $\displaystyle y=e^x-1$과 같이 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서는 증가하며 $\displaystyle f(0)=0$인 함수 $\displaystyle f(x)$를 생각하자. 이때, 다음을 만족시키는 실수 $\displaystyle c$가 존재함을 보일 수 있다.

① 구간 $\displaystyle [0,1]$의 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle f^{\prime}(x)\le c$일 때 부등식$\displaystyle \left(\int_0^tf(x)\,dx\right)^2\ge\int_0^tf(x)^3\,dx\quad(0\le t\le1)\qquad(3)$이 성립하고, 구간 $\displaystyle [0,1]$의 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여, $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge c$일 때 부등식$\displaystyle \left(\int_0^tf(x)\,dx\right)^2\le\int_0^tf(x)^3\,dx\quad(0\le t\le1)\qquad(4)$이 성립한다.

적분에 대한 부등식 (3)과 (4)를 수열에 대한 부등식으로 다음과 같이 생각해보자. 증가하는 수열$\displaystyle a_1,a_2,a_3,\cdots$(단, $\displaystyle a_1=0$)에서 임의의 $\displaystyle j\ge2$에 대하여 $\displaystyle a_j-a_{j-1}\le1$이면 부등식 (3)처럼$\displaystyle (a_1+a_2+\cdots+a_n)^2\ge a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3\qquad(5)$이 성립하고, 임의의 $\displaystyle j\ge2$에 대하여 $\displaystyle a_j-a_{j-1}\ge1$이면 부등식 (4)처럼$\displaystyle (a_1+a_2+\cdots+a_n)^2\le a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3\qquad(6)$이 성립한다. 실제로 부등식 (5)는 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다. 먼저 $\displaystyle n=1$일 때는 $\displaystyle 0^2=0^3$이므로 자명하다. 이제 $\displaystyle n=k$일 때 부등식 (5)가 성립한다고 가정하자. 그러면$\displaystyle a_{k+1}^3+\sum_{j=1}^ka_j^3\le a_{k+1}^3+\left(\sum_{j=1}^ka_j\right)^2$이다. 따라서 $\displaystyle n=k+1$일 때도 부등식 (5)가 성립하기 위해서는$\displaystyle a_{k+1}^3+\left(\sum_{j=1}^ka_j\right)^2\le\left(\sum_{j=1}^{k+1}a_j\right)^2$을 보이면 된다. 그런데$\displaystyle \left(\sum_{j=1}^{k+1}a_j\right)^2=\left(\sum_{j=1}^ka_j\right)^2+2a_{k+1}\left(\sum_{j=1}^ka_j\right)+a_{k+1}^2$이므로$\displaystyle a_{k+1}^3+\left(\sum_{j=1}^ka_j\right)^2\le\left(\sum_{j=1}^ka_j\right)^2+2a_{k+1}\left(\sum_{j=1}^ka_j\right)+a_{k+1}^2,$즉$\displaystyle 2\left(\sum_{j=1}^ka_j\right)-(a_{k+1}^2-a_{k+1})\ge0\qquad(7)$을 보이면 된다. 부등식 (7)은 임의의 $\displaystyle j\ge2$에 대하여 $\displaystyle a_j-a_{j-1}\le1$임을 이용하여 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.