자연계열 2번

■ 2-1두 이차함수의 그래프에 동시에 접하는 직선의 방정식을 $\displaystyle y=mx+n$이라 하면, 두 이차방정식 $\displaystyle x^2=mx+n$과 $\displaystyle x^2-x=mx+n$은 각각 중근을 갖는다.

따라서 판별식을 이용하면$\displaystyle m^2+4n=0$$\displaystyle (m+1)^2+4n=0$이다.

이 연립방정식을 풀면 $\displaystyle m=-\frac12$, $\displaystyle n=-\frac1{16}$이다. 따라서 두 이차함수의 그래프에 동시에 접하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac12x-\frac1{16}$이다.

■ 2-2두 이차함수의 그래프에 동시에 접하는 직선의 방정식을 $\displaystyle y=mx+n$이라 하면, 두 이차방정식 $\displaystyle -x^2-2=mx+n$과 $\displaystyle x^2-2ax+a^2+a=mx+n$은 각각 중근을 갖는다. 따라서 판별식을 이용하면$\displaystyle m^2-4(n+2)=0$$\displaystyle (m+2a)^2-4(-n+a^2+a)=0$이다.

두 식을 더하여 $\displaystyle n$을 소거하면$\displaystyle m^2+(m+2a)^2-4(a^2+a+2)=2m^2+4am-4a-8=0$즉,$\displaystyle m^2+2am-2a-4=0\quad\cdots\cdots\text{①}$이다. 방정식 ①의 판별식은 $\displaystyle \frac D4=a^2+2a+4=(a+1)^2+3>0$이므로 모든 실수 $\displaystyle a$에 대하여 서로 다른 두 실근을 갖는다. $\displaystyle n$의 값은 $\displaystyle m$에 의하여 결정되므로 두 이차함수의 그래프에 동시에 접하는 직선이 두 개 존재한다.

방정식 ①의 두 근이 각각 두 직선의 기울기이므로, 두 직선이 서로 수직으로 만난다면 두 근의 곱이 $\displaystyle -1$이다. 따라서 근과 계수와의 관계에 의하여$\displaystyle -2a-4=-1$이고, 따라서 $\displaystyle a=-\frac32$이다.