자연계열 2번

숙명여대 2025학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2025mo/jayeon_2

<다>이차함수 $\displaystyle y=ax^2+bx+c$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=mx+n$ 의 교점의 $\displaystyle x$ 좌표는 방정식 $\displaystyle ax^2+bx+c=mx+n$ , 즉 $\displaystyle ax^2+(b-m)x+c-n=0\quad\cdots\cdots\text{①}$ 의 실근과 같다. 따라서 이차함수 $\displaystyle y=ax^2+bx+c$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=mx+n$ 의 위치 관계는 이차방정식 ①의 판별식 $\displaystyle D=(b-m)^2-4a(c-n)$ 의 값의 부호에 따라 다음과 같다.(1) $\displaystyle D>0$ 이면 서로 다른 두 점에서 만난다.(2) $\displaystyle D=0$ 이면 한 점에서 만난다. (접한다.)(3) $\displaystyle D<0$ 이면 만나지 않는다.

제시문 <다>를 읽고 다음 문제에 답하시오.

2-1. 두 이차함수 $\displaystyle y=x^2$ 과 $\displaystyle y=x^2-x$ 의 그래프에 동시에 접하는 직선의 방정식을 구하시오.

2-2. 두 이차함수 $\displaystyle y=-x^2-2$ 과 $\displaystyle y=x^2-2ax+a^2+a$ 의 그래프에 동시에 접하는 직선이 두 개 존재하고 서로 수직으로 만날 때, 실수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

숙명여대 2025학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2025mo/jayeon_2

1단계 · <2-1>에서 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 정확히 이해한다.

■ 2-1두 이차함수의 그래프에 동시에 접하는 직선의 방정식을 $\displaystyle y=mx+n$ 이라 하면, 두 이차방정식 $\displaystyle x^2=mx+n$ 과 $\displaystyle x^2-x=mx+n$ 은 각각 중근을 갖는다.

2단계 · <2-1>에서 이차함수의 그래프와 직선이 접하는 조건을 이용하여 연립방정식을 세운다.

따라서 판별식을 이용하면 $\displaystyle m^2+4n=0$ $\displaystyle (m+1)^2+4n=0$ 이다.

3단계 · <2-1>에서 연립이차방정식을 풀어 두 이차함수의 그래프에 동시에 접하는 직선의 방정식을 바르게 구한다.

이 연립방정식을 풀면 $\displaystyle m=-\frac12$ , $\displaystyle n=-\frac1{16}$ 이다. 따라서 두 이차함수의 그래프에 동시에 접하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac12x-\frac1{16}$ 이다.

4단계 · <2-2>에서 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이해하고 연립이차방정식을 구한다.

■ 2-2두 이차함수의 그래프에 동시에 접하는 직선의 방정식을 $\displaystyle y=mx+n$ 이라 하면, 두 이차방정식 $\displaystyle -x^2-2=mx+n$ 과 $\displaystyle x^2-2ax+a^2+a=mx+n$ 은 각각 중근을 갖는다. 따라서 판별식을 이용하면 $\displaystyle m^2-4(n+2)=0$ $\displaystyle (m+2a)^2-4(-n+a^2+a)=0$ 이다.

5단계 · <2-2>에서 연립방정식을 풀어 동시에 접하는 직선이 두 개 존재함을 확인한다.

두 식을 더하여 $\displaystyle n$ 을 소거하면 $\displaystyle m^2+(m+2a)^2-4(a^2+a+2)=2m^2+4am-4a-8=0$ 즉, $\displaystyle m^2+2am-2a-4=0\quad\cdots\cdots\text{①}$ 이다. 방정식 ①의 판별식은 $\displaystyle \frac D4=a^2+2a+4=(a+1)^2+3>0$ 이므로 모든 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 서로 다른 두 실근을 갖는다. $\displaystyle n$ 의 값은 $\displaystyle m$ 에 의하여 결정되므로 두 이차함수의 그래프에 동시에 접하는 직선이 두 개 존재한다.

6단계 · <2-2>에서 두 직선이 수직으로 만날 조건을 이용하여

\displaystyle a

의 값을 바르게 구한다.

방정식 ①의 두 근이 각각 두 직선의 기울기이므로, 두 직선이 서로 수직으로 만난다면 두 근의 곱이 $\displaystyle -1$ 이다. 따라서 근과 계수와의 관계에 의하여 $\displaystyle -2a-4=-1$ 이고, 따라서 $\displaystyle a=-\frac32$ 이다.

등급	기준
1등급	위의 6가지 기준을 모두 충족시키고 논리 전개가 완벽한 경우
2등급	위의 6가지 기준을 모두 충족하나 논리 전개나 표현력이 다소 떨어지는 경우
3등급	위의 6가지 기준 중 5가지 요건을 만족하는 경우
4등급	위의 6가지 기준 중 ③과 ⑥ 요건을 충족시키고 나머지 요건 중 2가지를 만족시키는 경우
5등급	위의 6가지 기준 중 4가지 요건을 만족하는 경우(4등급 기준 제외)
6등급	위의 6가지 기준 중 3가지 요건을 만족하는 경우
7등급	위의 6가지 기준 중 2가지 요건을 만족하는 경우
8등급	위의 6가지 기준 중 1가지 요건을 만족하는 경우
9등급	위의 6가지 기준을 전혀 충족시키지 못한 경우

각 세부 문제별로 다음과 같은 기준을 만족시켜야 한다.

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