자연계열 3번

■ 3-1정적분$\displaystyle \int_0^1\left\{\frac12+\left(x-\frac12\right)^5\cos(2\pi x)\right\}\,dx$에서 $\displaystyle x-\frac12=t$로 놓으면 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=1$이고 $\displaystyle 0-\frac12=-\frac12$, $\displaystyle 1-\frac12=\frac12$이므로

$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1\left\{\frac12+\left(x-\frac12\right)^5\cos(2\pi x)\right\}\,dx&=\int_{-\frac12}^{\frac12}\left\{\frac12+t^5\cos\left(2\pi\left(t+\frac12\right)\right)\right\}\,dt\\&=\frac12-\int_{-\frac12}^{\frac12}t^5\cos(2\pi t)\,dt\end{aligned}$이다.

$\displaystyle g(t)=t^5\cos(2\pi t)$라 하면 $\displaystyle g(-t)=-g(t)$이므로$\displaystyle \int_{-\frac12}^{\frac12}t^5\cos(2\pi t)\,dt=0$이다. 따라서$\displaystyle \int_0^1f(x)\,dx=\frac12$이다.

■ 3-2함수 $\displaystyle f(x)$의 성질에 의하여$\displaystyle \int_0^c\{f(x)+f(c-x)\}\,dx=c^2\quad\cdots\cdots\text{②}$이다.

$\displaystyle c-x=t$라 하면 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=-1$이고 $\displaystyle c-0=c$, $\displaystyle c-c=0$이므로$\displaystyle \int_0^cf(c-x)\,dx=\int_0^cf(t)\,dt$이다.

②에서 정적분의 성질을 이용하면$\displaystyle \int_0^c\{f(x)+f(c-x)\}\,dx=\int_0^cf(x)\,dx+\int_0^cf(c-x)\,dx=2\int_0^cf(t)\,dt=c^2$이므로$\displaystyle \int_0^cf(x)\,dx=\frac12c^2$이다.

따라서$\displaystyle \int_0^cf(x)\,dx=2$를 만족시키는 실수 $\displaystyle c$의 값은 $\displaystyle c=\pm2$이다.