약학부 2번

$\displaystyle 0<k\le1$인 경우에는 $\displaystyle f(-k)-k=-k^3+k=k(1-k^2)>0$이므로 $\displaystyle f(-k)\ge k$이다. $\displaystyle f(0)=0$이므로 사잇값의 정리에 의하여 $\displaystyle f(x)=k$는 구간 $\displaystyle [-k,0]$에서 실근을 갖는다.Caution. 양수와 음이 아닌 수, 음수와 양이 아닌 수를 구별해야 한다: $\displaystyle k=1$이면 $\displaystyle k(1-k^2)=0$이므로, $\displaystyle k(1-k^2)>0$은 $\displaystyle k(1-k^2)\ge0$의 오기이다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.

$\displaystyle 1<k\le\frac49\sqrt6$인 경우에는 $\displaystyle f\left(-\frac{\sqrt6}{3}\right)=\frac49\sqrt6>k$이므로 $\displaystyle f(x)=k$는 구간 $\displaystyle \left[-\frac{\sqrt6}{3},0\right]$에서 실근을 갖는다. 또 $\displaystyle -k<-1<-\frac{\sqrt6}{3}$이므로 $\displaystyle f(x)=k$는 구간 $\displaystyle [-k,0]$에서 실근을 갖는다.Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: 해설의 $\displaystyle 1<k\le\frac{4\sqrt6}{9}$에는 $\displaystyle k=\frac{4\sqrt6}{9}$가 포함된다. 이때 $\displaystyle f\left(-\frac{\sqrt6}{3}\right)=k$이고 $\displaystyle -\frac{\sqrt6}{3}\in[-k,k]$이므로 실근이 존재한다. 따라서 원문의 $\displaystyle \frac{4\sqrt6}{9}>k$는 $\displaystyle \frac{4\sqrt6}{9}\ge k$로 써야 한다. 대학의 최종 답은 이 끝값을 포함하고 있어 옳다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

한편, $\displaystyle k>\frac49\sqrt6$인 경우에는 방정식 $\displaystyle f(x)=k$는 $\displaystyle x<\sqrt2$인 근을 갖지 않는다. 따라서 방정식 $\displaystyle f(x)=k$가 닫힌구간 $\displaystyle [\sqrt2,k]$에서 실근을 가져야 한다. 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle [\sqrt2,k]$에서 증가하고 $\displaystyle f(\sqrt2)=0$이므로 $\displaystyle f(k)\ge k$가 되어야 한다. 이 부등식을 풀면 $\displaystyle k^3-3k\ge0$이므로 $\displaystyle k\ge\sqrt3$이다.

모든 경우를 고려하면 구하는 $\displaystyle k$의 값의 범위는 $\displaystyle 0<k\le\frac49\sqrt6$ 또는 $\displaystyle k\ge\sqrt3$이다.