약학부 3번

■ 3-1함수 $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle a_1$부터 $\displaystyle a_n$까지의 정적분은$\displaystyle \int_{a_1}^{a_n}\frac{2x}{e^2-1}e^{x^2}\,dx=\int_{a_1}^{a_2}\frac{2x}{e^2-1}e^{x^2}\,dx+\int_{a_2}^{a_3}\frac{2x}{e^2-1}e^{x^2}\,dx+\cdots+\int_{a_{n-1}}^{a_n}\frac{2x}{e^2-1}e^{x^2}\,dx=e+e^3+\cdots+e^{2n-3}$

$\displaystyle \frac1{e^2-1}(e^{a_n^2}-e)=\sum_{k=1}^{n-1}e^{2k-1}=\frac1{e^2-1}(e^{2n-1}-e)$

따라서 $\displaystyle a_n^2=2n-1$, 즉 $\displaystyle a_n=\sqrt{2n-1}$이다.

점 $\displaystyle (a_n,a_n)$과 직선 $\displaystyle \left(\tan\frac1n\right)x-y=0$ 사이의 거리를 $\displaystyle d_n$으로 놓으면$\displaystyle d_n=\frac{\left|\left(\tan\frac1n\right)a_n-a_n\right|}{\sqrt{\tan^2\frac1n+1}}$이다.

한편 $\displaystyle l_n=2\sqrt{a_n^2-d_n^2}$이므로,$\displaystyle l_n^2=4(a_n^2-d_n^2)=4\left(a_n^2-\frac{a_n^2\left(\tan\frac1n-1\right)^2}{1+\tan^2\frac1n}\right)$이다. 이때 삼각함수의 성질에 의하여 $\displaystyle 1+\tan^2\frac1n=\sec^2\frac1n$이므로$\displaystyle 4\left(a_n^2-\frac{a_n^2\left(\tan\frac1n-1\right)^2}{1+\tan^2\frac1n}\right)=4a_n^2\left(1-\frac{\left(\tan\frac1n-1\right)^2}{\sec^2\frac1n}\right)=8a_n^2\left(\frac{\tan\frac1n}{\sec^2\frac1n}\right)=8a_n^2\left(\sin\frac1n\cos\frac1n\right)$이다.

또한 $\displaystyle a_n=\sqrt{2n-1}$이므로$\displaystyle l_n^2=8(2n-1)\left(\sin\frac1n\cos\frac1n\right)$이다.이때, $\displaystyle t=\frac1n$이라 하면, $\displaystyle n\to\infty$일 때, $\displaystyle t\to0$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}l_n^2&=\lim_{n\to\infty}8(2n-1)\left(\sin\frac1n\cos\frac1n\right)=\lim_{t\to0}8\left(\frac2t-1\right)(\sin t\cos t)\\&=\lim_{t\to0}8(2-t)\frac{\sin t}{t}\cos t=16\end{aligned}$이다.

■ 3-2$\displaystyle a_n=\sqrt{2n-1}$이므로 주어진 부등식은$\displaystyle \sum_{m=1}^{n^2}\frac1{\sqrt{2m-1}}\ge n\qquad\cdots\cdots\text{②}$이다.

$\displaystyle n=1$일 때 $\displaystyle \frac1{\sqrt1}\ge1$이므로 ②가 성립한다.$\displaystyle n=k$일 때 부등식 $\displaystyle \sum_{m=1}^{k^2}\frac1{\sqrt{2m-1}}\ge k$가 성립한다고 가정하자.

위 부등식의 양변에 $\displaystyle \frac1{\sqrt{2k^2+1}}+\frac1{\sqrt{2k^2+3}}+\cdots+\frac1{\sqrt{2(k+1)^2-1}}$을 더하면$\displaystyle \begin{aligned}&\sum_{m=1}^{k^2}\frac1{\sqrt{2m-1}}+\frac1{\sqrt{2k^2+1}}+\frac1{\sqrt{2k^2+3}}+\cdots+\frac1{\sqrt{2(k+1)^2-1}}\\&\ge k+\frac1{\sqrt{2k^2+1}}+\frac1{\sqrt{2k^2+3}}+\cdots+\frac1{\sqrt{2(k+1)^2-1}}\end{aligned}$여기에서,$\displaystyle \sum_{m=1}^{k^2}\frac1{\sqrt{2m-1}}+\frac1{\sqrt{2k^2+1}}+\frac1{\sqrt{2k^2+3}}+\cdots+\frac1{\sqrt{2(k+1)^2-1}}=\sum_{m=1}^{(k+1)^2}\frac1{\sqrt{2m-1}}$이고$\displaystyle \frac1{\sqrt{2k^2+1}}+\frac1{\sqrt{2k^2+3}}+\cdots+\frac1{\sqrt{2(k+1)^2-1}}$의 항의 개수는 $\displaystyle 2k+1$이므로$\displaystyle \sum_{m=1}^{(k+1)^2}\frac1{a_m}\ge k+\frac{2k+1}{\sqrt{2(k+1)^2-1}}=k+\sqrt{\frac{4k^2+4k+1}{2k^2+4k+1}}=k+\sqrt{1+\frac{2k^2}{2k^2+4k+1}}\ge k+1$

이므로 $\displaystyle n=k+1$일 때도 ②가 성립한다. 따라서 모든 자연수 $\displaystyle n$에서 주어진 부등식이 성립한다.