자연계열 2-B

동물이나 나무와 같이 큰 물체의 크기를 잴 때는 개별측정이 쉽지만 수많은 작은 입자들이 있는 경우에는 그 각각의 크기를 모두 측정하는 것은 현실적으로 불가능하다. 이때는 다양한 기기분석을 이용할 수 있는데, 흔한 방법들 중 하나는 다양한 크기의 구멍을 지니는 체를 이용하는 것이다. 아래 사진과 같이 구멍의 크기가 작은 체가 밑으로 오도록 여러 체를 쌓은 후 전체 분말을 제일 위에 놓고 오랫동안 흔들어 주면, 개별 입자는 자신의 크기보다 구멍이 작은 체와 큰 체 사이에 놓이게 된다. 이렇게 세분된 분말들의 무게를 측정하면 평균 입자크기를 계산할 수 있다. 위에서 설명한 방법으로 내부밀도가 균일하고 크기가 다양한 구형의 분말을 분리했다. 850 μm보다 큰 입자를 거르는 체는 모두 통과했지만, 50 μm보다 큰 입자를 거르는 체는 어느 것도 지나지 못했다. 이 두 체 사이에는 550, 450, 150 μm로 크기를 제한하는 세 가지 체가 있었으며, 아래의 표처럼 입자가 분리되었다. 입자의 지름을 표에 나온 크기 범위의 중간값으로 추정하여 $\displaystyle D_i$, 이에 해당되는 입자 개수를 $\displaystyle N_i$, 표면적을 $\displaystyle S_i$라 쓰자. $\displaystyle i$는 1부터 $\displaystyle n$까지의 입자분류 범위를 표시하고, 다음 표의 경우 $\displaystyle n$은 4이다. 총표면적($\displaystyle N_iS_i$)으로 가중치를 준 평균지름 $\displaystyle \overline{D_2}$는 다음의 식으로 주어지는데, 표에 있는 정보를 활용하여 $\displaystyle \overline{D_2}$를 구하시오.$\displaystyle \overline{D_2}=\frac{\sum_{i=1}^n(N_iS_iD_i)}{\sum_{i=1}^n(N_iS_i)}=\frac{\sum_{i=1}^n(N_i\pi D_i^2D_i)}{\sum_{i=1}^n(N_i\pi D_i^2)}=\frac{\sum_{i=1}^n(N_iD_i^3)}{\sum_{i=1}^n(N_iD_i^2)}$