자연계열 1번

문제 1-A

(1) 총판매액($\displaystyle z$)을 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$의 함수로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle z=f(x,y)=10,000x+20,000y$원료 사용량에 따른 제약조건을 부등식으로 나타내면 다음과 같다.$\displaystyle 0.1x^2+0.2y^2\le30,\ x\ge0,y\ge0$이를 $\displaystyle xy$-좌표평면 상에 도해하면 다음 그림과 같다.

(2) 아래의 그림으로부터 총판매액 $\displaystyle z$가 최대가 되도록 하는 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 값은 직선 $\displaystyle 10,000x+20,000y=k$가 타원과 접할 때이다. 이때 타원의 접선의 기울기와 직선의 기울기($\displaystyle =-0.5$)가 같아지므로 다음과 같이 구할 수 있다.

타원 위의 점 $\displaystyle (x_0,y_0)$에서 접선의 기울기를 구하기 위해 음함수 미분법을 이용하면$\displaystyle 2\times0.1x+2\times0.2y\frac{dy}{dx}=0$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{2y}$이다. 따라서 점 $\displaystyle (x_0,y_0)$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{x_0}{2y_0}$가 되고 이 값이 $\displaystyle -0.5$이므로 $\displaystyle x_0=y_0$가 된다. 이를 $\displaystyle x_0^2+2y_0^2=300$과 연립하여 풀면 $\displaystyle x_0=y_0=10$이다. ($\displaystyle x_0\ge0,y_0\ge0$이어야 하므로) 즉 제품 A를 10kg, 제품 B를 10kg 생산할 때 총판매액이 최대가 되며, 이때 총판매액은 300,000원이다.

문제 1-B

(1) 어느 날의 일과시간과 일과시간 이후 상태의 변화와 이에 대응하는 확률을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle p_{11}=0.8\times1+0.2\times0.5=0.9,\quad p_{12}=1\times0.5=0.5,$$\displaystyle p_{21}=0.2\times0.5=0.1,\quad p_{22}=1\times0.5=0.5.$

그러므로 $\displaystyle P=\begin{bmatrix}0.9&0.5\\0.1&0.5\end{bmatrix}$이다.

(2) 어느 날 정상 상태에 있는 장비가 이틀 후 정상 상태에 있기 위해서는 일과 시작시 장비의 상태 변화 과정이 다음의 두 가지 경우가 가능하다.① 정상 ==> 정상 ==> 정상② 정상 ==> 고장 ==> 정상①의 확률은 $\displaystyle 0.9\times0.9=0.81$이고, ②의 확률은 $\displaystyle 0.1\times0.5=0.05$이므로 이 둘을 합하여 정상 작동하는 장비의 비율을 구하면 86%이다.

(3) 어느 날 일과 시작시 정상 상태인 장비의 비율을 $\displaystyle p_1$, 고장 상태인 장비의 비율을 $\displaystyle p_2$라 하면다음 날 일과 시작시 정상 상태인 장비의 비율: $\displaystyle q_1=p_{11}\times p_1+p_{12}\times p_2$다음 날 일과 시작시 고장 상태인 장비의 비율: $\displaystyle q_2=p_{21}\times p_1+p_{22}\times p_2$매일 일과 시작시 $\displaystyle p_1,p_2$의 값이 동일하게 유지되므로 $\displaystyle p_1=q_1,p_2=q_2$이다.따라서 $\displaystyle p_1=0.9p_1+0.5p_2$, $\displaystyle p_2=0.1p_1+0.5p_2$이다. 여기서 정상 및 고장 상태인 장비의 비율의 합은 1이므로 $\displaystyle p_1+p_2=1$이다. 이를 이용하여 $\displaystyle p_1$을 구하면 $\displaystyle p_1=\frac56$이므로 정상 작동하는 장비는 전체의 $\displaystyle \frac{500}6$% (약 83.33%)이다.