숭실대 2013학년도 모의논술 자연계열 1번 해설

문제 1-A　다음 논제에 답하시오. (20점)

어떤 기업에서 두 가지 제품 A, B를 생산하고 있다. A와 B를 만드는데 공통의 원료가 사용되며, A 제품을 $\displaystyle q$ kg 생산하는데 이 원료가 $\displaystyle 0.1q^2$ kg 사용되며, B 제품을 $\displaystyle q$ kg 생산하는데 이 원료가 $\displaystyle 0.2q^2$ kg 사용된다. 제조공정의 특성상 이 두 제품은 여러 번 나누어서 생산할 수 없으며, 한 번의 공정으로 전량 생산해야 한다. 두 제품을 생산하는데 이 원료를 최대 30 kg까지 사용할 수 있으며, A와 B의 kg 당 판매가는 각각 10,000원, 20,000원이다. 이러한 상황에서 총판매액을 최대화하기 위한 각 제품의 생산량을 결정하고자 한다.

(1) A의 생산량을 $\displaystyle x$ , B의 생산량을 $\displaystyle y$ 로 정의(단, $\displaystyle x\ge0,y\ge0$ )할 경우 총판매액( $\displaystyle z$ )을 $\displaystyle x,y$ 의 함수로 나타내시오. 또 원료 사용량에 따른 제약조건을 부등식으로 나타내고, 이를 $\displaystyle xy$ -좌표평면 상의 영역으로 도해하시오.

(2) 총판매액을 최대화하는 A와 B의 생산량을 구하시오. 이 때 총판매액은 얼마인지 구하시오.

문제 1-B　다음 논제에 답하시오. (30점)

어떤 공장에서 사용하고 있는 기계장비는 매일 일과시간 사용 중 20%에서 고장이 발생한다. 하루의 일과를 마친 후 장비의 상태를 점검하여 고장이 발생한 장비 (이전에 고장이 난 장비를 포함) 가운데 50%의 수리를 그날 마친다. 매일 일과를 시작할 때 정상적으로 작동하는 장비의 비율에 대한 변화를 조사하기 위해 다음의 $\displaystyle 2\times2$ 행렬 $\displaystyle P$ 를 이용하고자 한다. 일과를 시작할 때의 장비 상태를 정상은 1, 고장은 2로 나타내고, 행렬 $\displaystyle P$ 의 $\displaystyle (i,j)$ -원소 $\displaystyle p_{ij}$ (여기서 $\displaystyle i,j=1$ 또는 2)는 어느 날 일과 시작시 $\displaystyle j$ 상태에 있던 장비가 그다음 날 일과 시작시 $\displaystyle i$ 상태에 있을 확률로 정의한다. 예를 들어 $\displaystyle p_{21}$ 은 어느 날 일과 시작시 정상(1) 상태에 있던 장비가 그다음 날 일과 시작시 고장(2) 상태에 있을 확률이다.

(1) 행렬 $\displaystyle P$ 를 구하시오.

(2) 어느 날 일과 시작시 모든 장비가 정상 작동하고 있다면, 이로부터 이틀 후 일과 시작시 정상 작동하는 장비는 전체의 몇 %인지 구하시오.

(3) 매일 일과 시작시마다 정상 작동하는 장비의 비율이 동일하게 유지된다면 정상 작동하는 장비는 전체의 몇 %인지 구하시오.

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문제 1-A

(1) 총판매액( $\displaystyle z$ )을 $\displaystyle x$ 와 $\displaystyle y$ 의 함수로 나타내면 다음과 같다. $\displaystyle z=f(x,y)=10,000x+20,000y$ 원료 사용량에 따른 제약조건을 부등식으로 나타내면 다음과 같다. $\displaystyle 0.1x^2+0.2y^2\le30,\ x\ge0,y\ge0$ 이를 $\displaystyle xy$ -좌표평면 상에 도해하면 다음 그림과 같다.

(2) 아래의 그림으로부터 총판매액 $\displaystyle z$ 가 최대가 되도록 하는 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 값은 직선 $\displaystyle 10,000x+20,000y=k$ 가 타원과 접할 때이다. 이때 타원의 접선의 기울기와 직선의 기울기( $\displaystyle =-0.5$ )가 같아지므로 다음과 같이 구할 수 있다.

타원 위의 점 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 에서 접선의 기울기를 구하기 위해 음함수 미분법을 이용하면 $\displaystyle 2\times0.1x+2\times0.2y\frac{dy}{dx}=0$ $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{2y}$ 이다. 따라서 점 $\displaystyle (x_0,y_0)$ 에서 접선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{x_0}{2y_0}$ 가 되고 이 값이 $\displaystyle -0.5$ 이므로 $\displaystyle x_0=y_0$ 가 된다. 이를 $\displaystyle x_0^2+2y_0^2=300$ 과 연립하여 풀면 $\displaystyle x_0=y_0=10$ 이다. ( $\displaystyle x_0\ge0,y_0\ge0$ 이어야 하므로) 즉 제품 A를 10kg, 제품 B를 10kg 생산할 때 총판매액이 최대가 되며, 이때 총판매액은 300,000원이다.

문제 1-B

(1) 어느 날의 일과시간과 일과시간 이후 상태의 변화와 이에 대응하는 확률을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle p_{11}=0.8\times1+0.2\times0.5=0.9,\quad p_{12}=1\times0.5=0.5,$ $\displaystyle p_{21}=0.2\times0.5=0.1,\quad p_{22}=1\times0.5=0.5.$

그러므로 $\displaystyle P=\begin{bmatrix}0.9&0.5\\0.1&0.5\end{bmatrix}$ 이다.

(2) 어느 날 정상 상태에 있는 장비가 이틀 후 정상 상태에 있기 위해서는 일과 시작시 장비의 상태 변화 과정이 다음의 두 가지 경우가 가능하다.① 정상 ==> 정상 ==> 정상② 정상 ==> 고장 ==> 정상①의 확률은 $\displaystyle 0.9\times0.9=0.81$ 이고, ②의 확률은 $\displaystyle 0.1\times0.5=0.05$ 이므로 이 둘을 합하여 정상 작동하는 장비의 비율을 구하면 86%이다.

(3) 어느 날 일과 시작시 정상 상태인 장비의 비율을 $\displaystyle p_1$ , 고장 상태인 장비의 비율을 $\displaystyle p_2$ 라 하면다음 날 일과 시작시 정상 상태인 장비의 비율: $\displaystyle q_1=p_{11}\times p_1+p_{12}\times p_2$ 다음 날 일과 시작시 고장 상태인 장비의 비율: $\displaystyle q_2=p_{21}\times p_1+p_{22}\times p_2$ 매일 일과 시작시 $\displaystyle p_1,p_2$ 의 값이 동일하게 유지되므로 $\displaystyle p_1=q_1,p_2=q_2$ 이다.따라서 $\displaystyle p_1=0.9p_1+0.5p_2$ , $\displaystyle p_2=0.1p_1+0.5p_2$ 이다. 여기서 정상 및 고장 상태인 장비의 비율의 합은 1이므로 $\displaystyle p_1+p_2=1$ 이다. 이를 이용하여 $\displaystyle p_1$ 을 구하면 $\displaystyle p_1=\frac56$ 이므로 정상 작동하는 장비는 전체의 $\displaystyle \frac{500}6$ % (약 83.33%)이다.

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