자연계열 1번

문제 1-A(1) $\displaystyle P(x<h)=0.9$인 $\displaystyle h$를 계산하여 그 높이 $\displaystyle h$의 부츠를 생산하면 된다. 즉, $\displaystyle \int_h^{\frac43}f(x)\,dx=0.1$을 만족하는 $\displaystyle h$를 계산하여야 한다. 이때, $\displaystyle \int_0^1x^{\frac15}\,dx=\frac56$이므로, $\displaystyle h$는 1보다 커야만 한다. 이 구간에서의 확률밀도함수는 $\displaystyle -3x+4$이다. 따라서 $\displaystyle \int_h^{\frac43}(-3x+4)\,dx=0.1$을 만족하는 $\displaystyle h$를 찾으면 된다. 적분 계산 결과$\displaystyle \left.-\frac32x^2+4x\right|_h^{\frac43}=0.1\quad\Rightarrow\quad\frac32h^2-4h+\frac{77}{30}=0$를 얻고, 여기서 $\displaystyle h$는 $\displaystyle \frac43$ 보다 작아야 하므로, $\displaystyle h=\frac43-\frac1{\sqrt{15}}$이 된다. 따라서, 부츠의 높이는 $\displaystyle \frac{40}3-\frac{10}{\sqrt{15}}$인치로 제작하면 된다.

(2) 겨울 100일 중 눈이 올 것으로 예상되는 날은 30일이다. 연속확률분포에서의 기댓값은 확률밀도함수와 적설량을 곱한 함수를 적분하여 계산하므로, 1일 적설량의 기댓값은 다음과 같다.$\displaystyle \int_0^1x\cdot x^{\frac15}\,dx+\int_1^{\frac43}x(-3x+4)\,dx=\left.\frac5{11}x^{\frac{11}5}\right|_0^1+\left.(-x^3+2x^2)\right|_1^{\frac43}=\frac{190}{297}.$10인치 당 2톤의 염화칼슘이 필요하므로, 1일 염화칼슘 필요 예상량은 $\displaystyle \frac{380}{297}$톤이다. 따라서, 이 도시는 30일 분의 염화칼슘으로, 약 38.38톤의 염화칼슘이 필요할 것으로 기대된다.

문제 1-B(1) 지점 $\displaystyle P(-4,6)$은 염색제가 퍼지기 시작하는 지점 $\displaystyle A(-4,0)$으로부터의 거리가 6이고, 표백제가 퍼지기 시작하는 지점 $\displaystyle B(4,0)$으로부터의 거리가 10이다. 따라서, 지점 $\displaystyle P$에는 6초 후에 염색제가 도달하고, 그 후로부터 4초 뒤에 표백제가 도달하므로, 염색제가 고착되기에는 시간이 충분치 않아 염색이 되지 않을 것이다.

(2) 염색이 이루어지는 지점들은 $\displaystyle B$로부터의 거리가 $\displaystyle A$로부터의 거리보다 5cm 이상 먼 지점들이다. 따라서, 염색이 이루어지는 지점들과 이루어지지 않는 지점들의 경계는 다음과 같은 관계식을 만족한다.Correction. 문제에서 염색이 유지되는 경우는 표백제가 5초를 경과한 후에 도달할 때이므로, ‘5cm 이상’은 ‘5cm 초과’의 오기이다. 뒤의 최종 영역은 경계를 제외하여 바르게 적혀 있다. 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle \sqrt{(x+4)^2+y^2}+5=\sqrt{(x-4)^2+y^2}$위 식의 양변을 제곱하여 정리하면$\displaystyle -16x-25=10\sqrt{(x+4)^2+y^2}$을 얻는다. 다시 양변을 제곱하여 정리하면 다음과 같은 쌍곡선의 방정식을 얻는다.$\displaystyle 156x^2-100y^2-975=0$구하려는 경계점들은 이 쌍곡선 위의 점들 중에서 $\displaystyle B$로부터의 거리가 $\displaystyle A$로부터의 거리보다 먼 점들이므로$\displaystyle 156x^2-100y^2-975=0,\quad x<0$이 경계가 된다. 따라서 이 경계로 이루어진 영역 중 점 $\displaystyle A$를 포함하는 영역, 즉$\displaystyle D=\{(x,y)\mid156x^2-100y^2-975>0,\ x<0\}$이 염색이 되는 지점들의 영역이다. 이를 좌표평면 위에 그리면 다음과 같다.

(3) 표백제가 속한 직선 $\displaystyle x=4$를 기준으로 볼 때, 이 직선 왼쪽 영역은 지점 $\displaystyle A$에서 출발하는 염색제가, 오른쪽 영역은 지점 $\displaystyle C$에서 출발하는 염색제가 먼저 도착한다. 따라서, 염색되는 영역은 직선 $\displaystyle x=4$를 기준으로 하여 왼쪽은 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$, 오른쪽은 $\displaystyle B$와 $\displaystyle C$에 의해 경계가 결정된다. $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$에 의해 결정되는 영역 $\displaystyle D$는 아래와 같이 문제 (2)에서 구하였다.$\displaystyle D=\{(x,y)\mid156x^2-100y^2-975>0,\ x<0\}$$\displaystyle B$와 $\displaystyle C$에 의해 결정되는 영역 $\displaystyle D^{\prime}$은 (2)에서 구한 영역을 직선 $\displaystyle x=4$를 중심으로 대칭이동 하여 아래와 같이 구할 수 있다.$\displaystyle D^{\prime}=\{(x,y)\mid156(8-x)^2-100y^2-975>0,\ x>8\}$따라서 염색이 되는 지점들의 영역은 $\displaystyle R=D\cup D^{\prime}$이다. 이를 좌표평면 위에 그리면 다음과 같다.