자연계열 2번

문제 2-A(1) 광선의 단면적은$\displaystyle S=\pi w^2=\pi w_o^2\left[1+\left(\frac{\lambda d}{\pi w_o^2}\right)^2\right]=\pi w_o^2+\frac{\lambda^2d^2}{\pi w_o^2}$이므로, 이를 최소화하는 값을 찾기 위해 위의 식을 $\displaystyle w_o$로 미분한 일차도함수를 구하자.$\displaystyle \frac{dS}{dw_o}=2\pi w_o-\frac{2\lambda^2d^2}{\pi}w_o^{-3}$$\displaystyle w_o$로 미분한 일차도함수 $\displaystyle \frac{dS}{dw_o}$가 음에서 양으로 변하는 점을 찾으면 되는데, 이차도함수$\displaystyle \frac{d^2S}{dw_o^2}=2\pi+\frac{6\lambda^2d^2}{\pi}w_o^{-4}$가 항상 양의 값을 가지므로, 일차도함수가 증가함수이고, 따라서 위의 일차도함수를 0으로 만드는 점을 찾으면 된다. 즉, $\displaystyle \frac{dS}{dw_o}=0$을 풀면$\displaystyle w_o^4=\frac{\lambda^2d^2}{\pi^2}$을 얻고, 따라서$\displaystyle w_o=\sqrt{\frac{\lambda d}{\pi}}$이다. 이를 면적의 식에 대입하면$\displaystyle S=\pi w^2=2\lambda d$를 얻는다.

(2) 단면 반지름이 $\displaystyle w_o$의 5/4가 되는 위치, 즉 $\displaystyle w=\frac54w_o$를 만족하는 값을 $\displaystyle z^*$라 하면,$\displaystyle w=\frac{5w_o}4=w_o\left[1+\left(\frac{\lambda z^*}{\pi w_o^2}\right)^2\right]^{1/2}$이다. 양변에서 $\displaystyle w_o$를 소거하면$\displaystyle \left(\frac54\right)^2=1+\left(\frac{\lambda z^*}{\pi w_o^2}\right)^2$를 얻고, 이를 정리하면$\displaystyle z^*=\pm\frac{\pi w_o^2}{\lambda}\sqrt{\left(\frac54\right)^2-1}=\pm\frac{3\pi w_o^2}{4\lambda}$이다. 초점 심도 $\displaystyle \Delta z$는 이 두 위치 간의 거리이므로 $\displaystyle \frac{3\pi w_o^2}{2\lambda}$이다.

문제 2-B(1) 제시문에서 설명한 것과 같은 온실효과에 의한 현상이다. 즉, 오른쪽 그래프에서 보듯이 태양복사선은 파장이 $\displaystyle 0.3\sim2\mu\mathrm m$로 짧은 반면에, 실온의 물체로부터 방출되는 빛은 파장이 $\displaystyle 3\mu\mathrm m$ 이상으로 긴 장파 적외선이다. 그런데, 왼쪽 그래프에서 보면 유리는 파장이 짧은 빛 ($\displaystyle 0.3\sim3\mu\mathrm m$)은 투과를 잘 시키지만 파장이 긴 빛은 투과시키지 못한다. 따라서 외벽이 유리인 건물에 햇빛이 내리쬘 때 태양복사선은 유리를 쉽게 투과하여 건물 내부에 도달하고 건물 내부 물체들의 온도를 올리게 되지만, 건물 내부의 물체들이 내어놓는 파장이 긴 빛들은 유리를 투과하지 못하므로 유리 창사 내부에 그 에너지가 머무르게 된다. 이러한 온실효과 때문에 유리 창사는 햇볕이 내리쬘 때 외부보다 그 내부의 온도가 높게 유지된다.

(2) 전지판은 지면으로부터 35°의 각도로 정남향으로 설치되고, 태양광은 지면으로부터 55°의 각도로 비추므로 태양광이 전지판에 입사하는 각도는 아래 그림과 같이 $\displaystyle 90^\circ=(180-(35+55))^\circ$이다.

위 그림에서 전지판 한 장의 그림자 세로 길이는 $\displaystyle \frac1{\cos35^\circ}$ 미터이다. 따라서 옥상면의 세로 방향으로 전지판이 $\displaystyle n$장이 설치될 수 있다면, $\displaystyle n$은 다음 식을 만족하여야 한다.$\displaystyle n\times\frac1{\cos35^\circ}\le30$　($\displaystyle n$은 양의 정수)따라서 $\displaystyle n$은$\displaystyle n\le30\cos35^\circ=24.6$을 만족하는 가장 큰 양의 정수이므로, $\displaystyle n=24$임을 알 수 있다. 즉, 옥상면의 세로방향으로는 전지판을 최대 24장 설치할 수 있다.한편 전지판 한 장의 그림자 가로 길이는 전지판의 가로 길이와 동일하게 1 미터이므로, 옥상면의 가로방향으로는 전지판을 30장 설치할 수 있다.따라서 옥상면에 설치할 수 있는 태양광 전지판의 최대 개수는 $\displaystyle 24\times30=720$ 장이다.

(3) 전지판에 대한 태양광선의 입사각은 문제(2)의 경우는 90°이다. 한편, 이번 경우의 그 입사각은$\displaystyle 60^\circ=(180-(35+85))^\circ$이다 (아래 해설그림 참조).

이 경우 태양 광선에 수직인 가상의 평면에 생기는 전지판 그림자의 면적은 전지판 면적의 $\displaystyle \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}2$이다.

따라서 이 경우 전지판에 입사하는 태양광 에너지의 양은 (2)번 경우의 $\displaystyle \frac{\sqrt3}2$이다.