경상계열 2번

숭실대 2019학년도 수시 경상계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2019su/gyeongsang_2

문제 2　제시문 [가], [나], [다]를 읽고 각 문항에 답하시오. (40점)

[가] 이자란 돈을 빌려 쓴 대가로 치르는 원금에 대한 일정한 비율의 돈이다. 여기에서 원금에 대한 이자의 비율을 이자율이라고 한다. 이자율, 즉 금리에는 단리와 복리가 있다. 단리는 원금에만 이자가 붙는 것이고, 복리는 원금에 대한 이자도 붙지만, 이자에 대한 이자도 붙는 방식의 이자 계산 방식이다.

[나] 학생 S는 은행으로부터 1년 동안 100만원을 대출 받기로 결정하고 대출신청을 하기 위해 은행을 찾았다. 상담을 진행한 후에 은행원이 제시한 대출상품은 단리상품(상품①)과 복리상품(상품②와 ③)이었다. 각각의 대출상품의 이자총액과 원리금총액을 계산하는 방법은 아래에 주어진 <표>를 참고하라.<표> 이자총액과 원리금총액 계산법: 단리와 복리에 대한 설명이자 계산과 관련한 정보: 이자총액( $\displaystyle I$ ), 원금( $\displaystyle P$ ), 연이자율( $\displaystyle r$ ), 기간( $\displaystyle t$ )(기간의 단위: 년(자연수))상품① 단리방식으로 이자를 계산하는 경우로 이자총액( $\displaystyle I$ )과 원금과 이자를 합한 원리금총액( $\displaystyle P+I$ )은 다음과 같다. 즉, $\displaystyle I=P\times r\times t$ 그리고 $\displaystyle P+I=P\times(1+r\times t)$ 이다.상품② 1년 마다 이자가 계산되는 경우로 이자총액( $\displaystyle I$ )과 원금과 이자를 합한 원리금총액( $\displaystyle P+I$ )은 다음과 같다. 즉, $\displaystyle I=P\times(1+r)^t-P$ 그리고 $\displaystyle P+I=P\times(1+r)^t$ 이다.상품③ 6개월 마다 이자가 계산되는 경우로 이자총액( $\displaystyle I$ )과 원금과 이자를 합한 원리금총액( $\displaystyle P+I$ )은 다음과 같다. 즉, $\displaystyle I=P\times(1+\frac r2)^{2t}-P$ 그리고 $\displaystyle P+I=P\times(1+\frac r2)^{2t}$ 이다.

[다] 미분계수의 기하학적 의미함수 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle x=a$ 에서 미분계수 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ 는 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (a,f(a))$ 에서의 접선의 기울기와 같다.

[문항 1] 아래의 <표 1>은 원금이 100만원이고 기간이 1년일 때 각각의 대출상품의 이자총액을 계산한 것이다. 연이자율이 10%와 20%일 때 ㉠과 ㉡에 들어갈 이자총액은 얼마인가? 상품 ①, ②, ③ 중에서 이자율이 10%에서 20%로 증가할 때 이자총액의 변화가 가장 큰 상품은 어느 것이고 그 이유는 무엇인가?〈표1〉| 등급 | 이자지급주기 | 이자총액(연이자율 10%) | 이자총액(연이자율 20%) || :---: | :---: | :---: | :---: || 상품① | 연1회 | 100,000원 | 200,000원 || 상품② | 연1회 | 100,000원 | (㉠)원 || 상품③ | 연2회 | 102,500원 | (㉡)원 |

[문항 2] 아래의 <표 2>는 [문항1]의 내용을 다른 이자율로 계산한 것이다. 이자율의 변화에 따른 이자총액의 변화비를 비율로 표현한 것을 “A지수”라고 하자. ㉢, ㉣, ㉤, ㉥에 들어갈 값은 얼마인가?〈표2〉| 등급 | 이자지급주기 | 이자총액(연이자율 5%) | 이자총액(연이자율 15%) | A지수 || :---: | :---: | :---: | :---: | :---: || 상품① | 연1회 | 50,000원 | 150,000원 | (㉣) || 상품② | 연1회 | 50,000원 | 150,000원 | (㉤) || 상품③ | 연2회 | 50,625원 | (㉢)원 | (㉥) |

[문항 3] 제시문 [나], [다]를 활용하여, [문항 2]에 나오는 A지수를 기울기 개념으로 설명하고 상품별로 A지수를 결정하는 요인을 모두 설명하라.

해설강의 준비중

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· 평가기준 3: 복리의 경우에 원금에 대한 이자뿐만 아니라 발생한 이자에 대한 이자가 붙기 때문에 이자율이 상승하는 경우에 이자총액이 크게 증가하고 이자총액의 변화가 더 크게 나타난다는 점을 이해한다.

[문항 1]답안제시답㉠, ㉡: (표)안에 제시| | 이자지급주기 | 이자총액(연이자율 10%) | 이자총액(연이자율 20%) || :---: | :---: | :---: | :---: || 상품① | 연1회 | 100,000원 | 200,000원 || 상품② | 연1회 | 100,000원 | ㉠ 200,000원 || 상품③ | 연2회 | 102,500원 | ㉡ 210,000원 |답: 복리로 계산될 때 이자에 이자가 붙기 때문이다(참고: 동일한 기간일 때 이자율이 적용되는 기간이 짧은 상품에 이자가 더 많이 증가하기 때문).

· 평가기준 1 (질문㉠): 주어진 단리와 복리 공식을 적용하여 계산을 수행할 수 있다. · 평가기준 2 (질문㉡): 주어진 단리와 복리 공식을 적용하여 계산을 수행할 수 있다.

풀이제시(ㄱ) $\displaystyle 1,000,000(1+0.2)^1-1,000,000=200,000$ (ㄴ) $\displaystyle 1,000,000(1+\frac{0.2}2)^2-1,000,000=210,000$

[문항 2]답안제시답㉢: (표)안에 ㉢으로 제시함.답㉣, ㉤, ㉥: (표)안에 ㉣, ㉤, ㉥으로 제시함.| | 이자지급주기 | 이자총액(연이자율 5%) | 이자총액(연이자율 15%) | A지수 || :---: | :---: | :---: | :---: | :---: || 상품① | 연1회 | 50,000원 | 150,000원 | ㉣ 10,000 또는 1,000,000 || 상품② | 연1회 | 50,000원 | 150,000원 | ㉤ 10,000 또는 1,000,000 || 상품③ | 연2회 | 50,625원 | ㉢ 155,625원 | ㉥ 10,500 또는 1,050,000 |답: 복리로 계산될 때 이자에 이자가 붙기 때문이다(참고: 동일한 기간일 때 이자율이 적용되는 기간이 짧은 상품에 이자가 더 많이 증가하기 때문).

· 평가기준 4 (질문㉢): 변화된 이자율에 따라 이자총액을 계산할 수 있다. · 평가기준 5, 6, 7 (질문㉣, ㉤, ㉥): 문장으로 주어진 A지수에 대한 개념을 이해하고 문제에 적용하여 계산할 수 있다.

풀이제시(ㄷ) $\displaystyle 1,000,000(1+\frac{0.15}2)^2-1,000,000=155,625$ (ㄹ) $\displaystyle \frac{100,000}{10\%}=10,000$ 또는 $\displaystyle \frac{100,000}{0.1}=1,000,000$ (ㅁ) $\displaystyle \frac{100,000}{10\%}=10,000$ 또는 $\displaystyle \frac{100,000}{0.1}=1,000,000$ (ㅂ) $\displaystyle \frac{105,000}{10\%}=10,500$ 또는 $\displaystyle \frac{105,000}{0.1}=1,050,000$ Comment. 상품①·②의 이자총액 증가액은 100000원이다. 이자율을 퍼센트로 나타낸 수치 $\displaystyle 5$ 와 $\displaystyle 15$ 로 계산하면 A지수는 $\displaystyle 100000/(15-5)=10000$ 이고, 비율 $\displaystyle 0.05$ 와 $\displaystyle 0.15$ 로 계산하면 $\displaystyle 100000/(0.15-0.05)=1000000$ 이다. 대학 답안이 제시한 두 값은 이자율을 나타내는 단위 차이에서 나온다.

· 평가기준 8: 미분계수의 기하학적 의미를 이용하여 주어진 개념인 A지수가 공식의 기울기와 일치함을 이해하고 설명할 수 있다. · 평가기준 9: 미분계수 계산을 통해 상품①의 A지수 결정요인을 파악하고 설명할 수 있다. · 평가기준 10: 미분계수 계산을 통해 상품②와 ③의 A지수 결정요인을 파악하고 설명할 수 있다.

[문항 3]답안제시답: A지수는 (이자총액변화/이자율변화)로 정의하고 있어 함수의 미분계수인 기울기 또는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ (일반표현) 또는 $\displaystyle \frac{dI}{dr}$ (본문항관련)와 일치하는 개념임.Comment. 기간이 1년일 때 상품①·②의 이자총액은 이자율의 일차함수이므로 평균변화율과 순간변화율이 같다. 상품③은 $\displaystyle I=P(r+\frac{r^2}4)$ 이므로, 이자율 $\displaystyle 0.05$ 에서 $\displaystyle 0.15$ 까지의 평균변화율은 $\displaystyle 1.05P$ 이고 순간변화율은 $\displaystyle P(1+\frac r2)$ 이다. 따라서 상품③의 A지수는 주어진 구간의 평균변화율로 구별해서 읽는다.답: 미분을 실시하는 경우에 미분계수에 상품1은 $\displaystyle P$ 와 $\displaystyle t$ 가 남게 되므로 상품1은 원금( $\displaystyle P$ )과 기간( $\displaystyle t$ )이 결정요인이다.답: 미분을 실시하는 경우에 미분계수에 상품2와 상품3은 $\displaystyle P$ , $\displaystyle t$ 와 $\displaystyle r$ 이 남게 되므로 상품2와 상품3은 원금( $\displaystyle P$ ), 기간( $\displaystyle t$ ) 그리고 이자율( $\displaystyle r$ )이 결정요인이다.

풀이제시답: 답안제시내용을 기준으로 정답을 판단함답상품1: $\displaystyle \frac{dI}{dr}=\frac{d(Prt)}{dr}=P\cdot t$ $\displaystyle \Rightarrow P$ 와 $\displaystyle t$ 가 결정요인상품2: $\displaystyle \frac{dI}{dr}=\frac{d(P(1+r)^t)-P)}{dr}=P\cdot t\cdot(1+r)^{t-1}$ $\displaystyle \Rightarrow P,\ t,\ r$ 이 결정요인상품3: $\displaystyle \frac{dI}{dr}=\frac{d(P(1+\frac r2)^{2t})-P)}{dr}=P\cdot2t\cdot(1+\frac r2)^{2t-1}\cdot\frac12=P\cdot t\cdot(1+\frac r2)^{2t-1}$ $\displaystyle \Rightarrow P,\ t,\ r$ 이 결정요인

구분	등급판정방식
평가기준	10~8 / 7 / 6 / 5 / 4 / 3 / 2 / 1 / 0
등급	1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6 / 7 / 8 / 9

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