자연계열 2-B번

물체의 질량 $\displaystyle m$, 경사면의 각도 $\displaystyle \theta$, 물체의 처음 높이 $\displaystyle h_0$, 충돌 직후의 속력 $\displaystyle v^{\prime}$과 충돌의 직전 속력 $\displaystyle v$의 관계는 $\displaystyle v^{\prime}=kv\ (0<k<1)$이다. (단, 물체의 크기는 무시하고, 중력가속도의 크기는 $\displaystyle g$라 한다.)

(1) 첫 번째 충돌 후 올라가는 최대 높이:경사면에는 마찰이 없어 경사면의 운동과정에서는 역학적 에너지가 보존되므로, 처음의 퍼텐셜 에너지는 충돌 직전의 운동에너지와 같다. $\displaystyle mgh_0=\frac12mv^2$.<g0>충돌 직후의 운동에너지는 되튀어 올라가는 최고 높이에서의 퍼텐셜 에너지와 같으므로 이 높이를 $\displaystyle h_1$이라 하면,</g0><g1>$\displaystyle mgh_1=\frac12mv^{\prime2}=\frac12m(kv)^2=mgh_0k^2$그러므로 $\displaystyle h_1=k^2h_0$</g1>

(2) 정지할 때까지 경사면을 따라 움직인 총 이동거리:<g2>수직 방향의 높이 차이 $\displaystyle h$와 경사면에서의 이동거리 $\displaystyle l$사이의 관계는 $\displaystyle l=\frac h{\sin\theta}$이다.</g2><g3>$\displaystyle n$번째 튀어 오르는 높이를 $\displaystyle h_n$이라고 하면, 문항 (1)의 결과로부터 $\displaystyle h_n=k^2h_{n-1}$총 이동거리 $\displaystyle L$은$\displaystyle L=\frac1{\sin\theta}(h_0+2h_1+2h_2+\cdots)=\frac1{\sin\theta}(h_0+2k^2h_0+2k^4h_0+\cdots)$</g3><g4>$\displaystyle =\frac{h_0}{\sin\theta}(1+\frac{2k^2}{1-k^2})$$\displaystyle =\frac{h_0}{\sin\theta}(\frac{1+k^2}{1-k^2})$</g4>