경상계열 2번

숭실대 2020학년도 모의논술 경상계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2020mo/gyeongsang_2

문제 2　제시문 [가], [나]를 읽고 각 문항에 답하시오. (50점)

[가] 첫째항이 $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a\ne0$ ), 공비가 $\displaystyle r$ 인 등비수열 $\displaystyle \{ar^{n-1}\}$ 에서 얻은 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots$ 을 첫째항이 $\displaystyle a$ , 공비가 $\displaystyle r$ 인 등비급수라 한다. 등비급수의 제 $\displaystyle n$ 항까지의 부분합 $\displaystyle S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}$ 에서 $\displaystyle r\ne1$ 일 때, $\displaystyle S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$ 이고 $\displaystyle r=1$ 일 때, $\displaystyle S_n=na$ 이다. (아래의 <표 1>은 주어진 $\displaystyle n$ 값에 따른 $\displaystyle 1.05^n$ 값을 소수점 넷째자리까지 반올림한 값을 보여준다.)

[나] 이자율, 즉 금리에는 단리와 복리가 있다. 단리는 원금에만 이자가 붙는 것이고, 복리는 원금에 대한 이자도 붙지만, 이자에 대한 이자도 붙는 방식의 이자 계산 방식이다. 예를 들어, 100만원을 연 5%의 금리로 은행에 3년간 저축한다고 할 때, 원리금 합계액은 단리일 경우에는 115만원 [ $\displaystyle 100$ 만원 $\displaystyle \times(1+0.05\times3)$ ]이지만, 복리일 경우에는 115만 7,630원 [ $\displaystyle 100$ 만원 $\displaystyle \times(1+0.05)^3$ ]이 된다. 즉, 복리로 연 5%의 이자를 지급하는 예금상품에 오늘 100만원을 3년간 예금하면 115만 7,630원을 인출할 수 있게 된다는 것이고 반대로 복리로 연 5%의 이자를 지급하는 예금상품에 3년간 예금하고 115만 7,630원을 인출하기 위해서는 오늘 100만원을 예금해야 한다는 것을 의미한다.Comment. 원리금을 정확히 계산하면 $\displaystyle 1000000\times(1.05)^3=1157625$ 로, 115만 7,625원이다. 원문의 115만 7,630원은 이를 십 원 단위로 반올림한 값이다.

※ 다음 각 문항에서 만기는 예금하는 기간을 의미한다.

[문항 1] 연 5% 복리, 만기 2년인 예금상품에 지금 100만원을 예금하면 2년 후 만기 시 원리금 합계액은 얼마인가?

[문항 2] 첫 2년은 연이자율 5% 단리로 이자를 계산하고, 다음 2년은 연이자율 5% 복리로 이자를 계산하는 만기 4년의 예금 상품이 있다. 오늘 예금하여 4년 후 만기 시 원리금 합계액 100만원을 인출하려면 오늘 예금해야 하는 금액은 얼마인가? 식을 수립하여 제시하시오.

[문항 3] 연 이자율 5%, 복리로 이자를 계산하는 예금상품이 있다. 만기 1년, 만기 2년, 만기 3년 등 세 종류 예금에 100만원씩 예금하고자 한다. 이 세 예금으로부터 얻을 수 있는 원리금 총 합계액은 얼마인가?

[문항 4] 연 이자율 5%, 복리 예금상품이 있다. 만기 1년부터 10년까지 10개 종류의 예금에 100만원씩 예금하려 한다. 이 세 예금으로부터 얻을 수 있는 원리금 총 합계액을 계산하기 위한 식을 제시문[가]의 “등비급수의 제n항까지의 부분 합”을 이용하여 제시하시오.Correction. [문항 4]의 “이 세 예금으로부터”는 “이 열 개의 예금으로부터”의 오기이다. 바로 앞에서 만기 1년부터 10년까지의 예금 10개에 각각 예금한다고 정했으므로, 이 10개의 원리금 합계를 묻는 뜻이다. 원문 표기는 그대로 실었다.

[문항 5] 위의 [문항3]에서 각각 1년 후와 2년 후에 만기가 도래하는 2개의 예금을 은행에 재예치한다고 하자. 3년 후에 3개의 예금으로부터 얻을 수 있는 원리금의 총 합계액은 얼마인가?

해설강의 준비중

숭실대 2020학년도 모의논술 경상계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2020mo/gyeongsang_2

· 평가기준 1: 문항의 내용을 바르게 이해하고 주어진 자료를 이용할 수 있음 (공식제시능력 평가) · 평가기준 2: 주어진 <표>의 내용을 적용하여 수치적 해답을 제시할 수 있음 (정답 정확도 평가)

[문항 1]제시문 [나]를 참조하여 식을 [ $\displaystyle 100$ 만원 $\displaystyle \times(1+0.05)^2$ ]으로 제시한 후에 <표1>의 해당내용을 선택하여 정답을 110만 2천5백원(1,102,500원)으로 제시할 수 있는가를 확인

· 평가기준 3: 문항의 내용을 바르게 이해하고 주어진 자료를 이용할 수 있음 (공식제시능력 평가) · 평가기준 4: 주어진 제시문과 <표>의 내용을 적용하여 수치적 해답을 제시할 수 있음 (정답 정확도 평가)

[문항 2]제시문 [나]에서 제시한 2가지 이자율계산방식을 순차적으로 적용하여 공식을 제시하고 방정식의 풀이를 제시할 수 있는 능력을 확인하고자 함. [ $\displaystyle [x$ 원 $\displaystyle \times(1+0.05\times2)]\times(1+0.05)^2=100$ 만원]을 풀면 $\displaystyle 1.1x=100/1.1025=90.7029$ 이고 $\displaystyle x=82.4572$ 이다.

· 평가기준 5: 문항의 내용을 바르게 이해하고 주어진 자료를 이용할 수 있음 (공식제시능력 평가) · 평가기준 6: 주어진 <표>의 내용을 적용하여 수치적 해답을 제시할 수 있음 (정답 정확도 평가)

[문항 3]본 문항에서 질문하는 내용이 제시문 [가]의 등비수열의 공식을 이용하여 풀 수 있다는 것을 이해할 수 있어야 함. 즉, $\displaystyle 100$ 만원 $\displaystyle \times(1+0.05)^1+100$ 만원 $\displaystyle \times(1+0.05)^2+100$ 만원 $\displaystyle \times(1+0.05)^3$ 이고 단순히 계산하면 $\displaystyle 100(1.05+1.1025+1.1576)=331.01$ 즉, 3,310,100원 임을 알 수 있음. 또는 제시문 [가]의 등비수열 공식 $\displaystyle a=100(1.05),\quad r=(1.05),\quad n=2$ 를 대입하면 $\displaystyle S_2=\frac{100(1.05)(1-1.05^3)}{1-1.05}=\frac{105(-0.1576)}{-0.05}=330.96$ 으로 약 331만원임을 알 수 있음Correction. [문항 3] 예시답안에서 등비수열의 합 공식에 대입하는 $\displaystyle n=2$ 와 $\displaystyle S_2$ 는 각각 $\displaystyle n=3$ 과 $\displaystyle S_3$ 의 오기이다. 더하는 원리금은 세 개이므로 다음과 같이 쓴다. $\displaystyle S_3=\frac{105(1-1.05^3)}{1-1.05}$ 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.

· 평가기준 7: 문항의 내용을 바르게 이해하고 주어진 자료를 이용할 수 있음 (공식제시능력 평가)

[문항 4]주어진 문항을 제시문[가]의 등비수열의 공식을 이용하면 $\displaystyle S_{10}=100(1+1.05+1.05^2+\cdots+1.05^9)$ 이고 $\displaystyle S_{10}=\frac{100(1-1.05^{10})}{1-1.05}=\frac{100(1-1.6289)}{1-1.05}=100(12.5779)=1257.79$ 만원 임을 알 수 있음

Caution. 만기가 각각 1년부터 10년까지인 예금에 100만 원씩 넣으면 원리금 합계는 $\displaystyle 100(1.05+1.05^2+\cdots+1.05^{10})$ 만 원이다. 대학 답안의 $\displaystyle 100(1+1.05+\cdots+1.05^9)$ 는 예치 직후의 원금 100만 원을 포함하고, 10년 만기의 원리금 $\displaystyle 100(1.05)^{10}$ 만 원은 포함하지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

· 평가기준 8: 주어진 <표>의 내용을 적용하여 수치적 해답을 제시할 수 있음 (정답 정확도 평가)

[문항 5]제시된 문항들에서 제시된 내용을 종합적으로 이해하여 이자율계산을 2단계로 구분하여 인지하고 $\displaystyle [100$ 만원 $\displaystyle \times(1+0.05)]\times(1+0.05)+[100$ 만원 $\displaystyle \times(1+0.05)^2]\times(1+0.05)+[100$ 만원 $\displaystyle \times(1+0.05)^3]$ Correction. [문항 5] 예시답안의 첫 번째 항은 재예치 후의 기간을 나타내는 지수 $\displaystyle 2$ 가 빠진 오기이다. 1년 만기 예금을 다시 2년간 예치하므로, 만원 단위로 쓰면 다음과 같다. $\displaystyle [100(1+0.05)](1+0.05)^2$ 따라서 세 예금의 합계를 $\displaystyle 300(1+0.05)^3$ 으로 계산한 다음 줄은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다. $\displaystyle =300(1+0.05)^3$ $\displaystyle =300(1.1576)=347.28$ 만원

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