자연계열 4번

(1) 점 $\displaystyle \mathrm P$의 좌표를 $\displaystyle (x_1,y_1)$이라 할 때, 원 $\displaystyle C_1$과 곡선 $\displaystyle C_2$는 점 $\displaystyle \mathrm P$에서 만나므로 두 식$\displaystyle x_1^2+(y_1-a)^2=2$ ⋯⋯⋯①$\displaystyle y_1=\ln|x_1|+1$ ⋯⋯⋯②을 만족한다.또한 점 $\displaystyle \mathrm P(x_1,y_1)$에서 원 $\displaystyle C_1$과 곡선 $\displaystyle C_2$가 공통의 접선을 가지므로 $\displaystyle y_1\ne a$을 알 수 있다. 왜냐하면, $\displaystyle y_1=a$이면 ①에 의하여 원 $\displaystyle C_1$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm P(x_1,y_1)$는 $\displaystyle (\sqrt2,a)$ 또는 $\displaystyle (-\sqrt2,a)$가 되고, 이 때 원 $\displaystyle C_1$의 접선은 $\displaystyle y$축과 평행하다. 그런데 곡선 $\displaystyle C_2$는 어떠한 점에서도 $\displaystyle y$축과 평행한 접선을 가질 수 없으므로 $\displaystyle y_1\ne a$이어야 한다.음함수의 미분법을 이용하여 방정식 $\displaystyle x^2+(y-a)^2=2$의 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle 2x+2(y-a)\frac{dy}{dx}=0$이고, $\displaystyle y_1\ne a$이므로 원 $\displaystyle C_1$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm P(x_1,y_1)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{x_1}{a-y_1}$이다. 한편 곡선 $\displaystyle C_2:y=\ln|x|+1$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm P(x_1,y_1)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac1{x_1}$이다.점 $\displaystyle \mathrm P(x_1,y_1)$에서 원 $\displaystyle C_1$과 곡선 $\displaystyle C_2$가 공통의 접선을 가지므로$\displaystyle \frac{x_1}{a-y_1}=\frac1{x_1}$, 즉 $\displaystyle x_1^2=a-y_1$ ⋯⋯⋯③을 만족한다. ①과 ③을 연립하여 얻은 방정식$\displaystyle (a-y_1)^2+(a-y_1)-2=0$ (단, $\displaystyle a-y_1\ge0$)을 풀면, $\displaystyle a-y_1=1$이다. 이를 ③에 대입하여 $\displaystyle x_1=\pm1$을 얻고, 이 $\displaystyle x_1$의 값을 ②에 대입하면 $\displaystyle y_1=1$이다. 따라서 두 점 $\displaystyle \mathrm P$, $\displaystyle \mathrm Q$는 $\displaystyle (1,1)$과 $\displaystyle (-1,1)$이고, $\displaystyle a=2$이다.

(2) 원 $\displaystyle C_1$과 곡선 $\displaystyle C_2$ 및 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 <그림 2>와 같이 직선 $\displaystyle y=1$, $\displaystyle x=1$, $\displaystyle x=-1$과 $\displaystyle x$축이 이루는 직사각형의 넓이 2에서, 원 $\displaystyle C_1$과 직선 $\displaystyle y=1$로 둘러싸인 영역 $\displaystyle A_1$의 넓이와, 곡선 $\displaystyle C_2$과 직선 $\displaystyle x=1$, $\displaystyle x=-1$ 및 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 영역 $\displaystyle A_2$의 넓이를 뺀 값이다.원 $\displaystyle C_1$의 중심을 $\displaystyle \mathrm D(0,2)$라 할 때, 선분 $\displaystyle \mathrm{DP}$와 선분 $\displaystyle \mathrm{DQ}$가 이루는 각이 $\displaystyle \frac\pi2$이므로 원 $\displaystyle C_1$과 직선 $\displaystyle y=1$로 둘러싸인 영역 $\displaystyle A_1$의 넓이는[부채꼴 $\displaystyle \mathrm{DPQ}$의 넓이]$\displaystyle -$[$\displaystyle \triangle\mathrm{DPQ}$의 넓이]$\displaystyle =\frac14\pi(\sqrt2)^2-1=\frac\pi2-1$이다.또한, 곡선 $\displaystyle C_2:y=\ln|x|+1$가 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이고 $\displaystyle \left(\frac1e,0\right)$과 $\displaystyle \left(-\frac1e,0\right)$에서 $\displaystyle x$축과 만나므로 곡선 $\displaystyle C_2$와 직선 $\displaystyle x=1$, $\displaystyle x=-1$ 및 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 영역 $\displaystyle A_2$의 넓이는$\displaystyle 2\int_{\frac1e}^1(\ln x+1)\,dx=2\Biggl[x\ln x\Biggr]_{\frac1e}^1=\frac2e$이다. 따라서 원 $\displaystyle C_1$과 곡선 $\displaystyle C_2$ 및 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle 2-\left(\frac\pi2-1\right)-\frac2e=3-\frac\pi2-\frac2e$이다.