경상계열 2번

숭실대 2021학년도 모의논술 경상계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2021mo/gyeongsang_2

문제 2　제시문 [가]~[라]를 읽고 각 문항에 답하시오. (50점)

[가] 일반적인 영리 기업의 목적은 이윤을 극대화하는 것이다. 제조기업에서 이윤을 얻는다는 것은 상품을 생산하고 기업을 운영하는 데 드는 돈(비용)보다 상품을 팔아서 벌어들인 돈(수입)이 많다는 것을 의미한다. 수입이 비용보다 크면 이윤을 얻는다고 하고 수입이 비용보다 작으면 손실을 본다고 한다.

[나] 경제 자원은 희소하므로 제조기업은 이윤을 극대화하는 방향으로 생산품목과 수량, 생산방식 등을 결정해야 한다. 제조기업이 희소한 자원의 제약 하에서 최대이윤을 얻으려면 이들을 효율적으로 사용하기 위한 생산계획을 수립해야 하는데 이 때 부등식의 영역 개념을 활용할 수 있다. 부등식으로 표시할 수 있는 각 제약조건을 좌표 평면에 표시하고 이들의 공통된 영역에서 이윤을 최대화하는 조합을 선택하는 것이다. 이 때 제약조건이 달라지면 이윤을 최대화하는 생산계획도 달라질 수 있다.

[다] 특정 대안을 선택할 것인가를 결정할 때 기본 원칙은 선택에 따른 비용과 편익을 비교하고 편익이 비용을 초과한다면 선택하고 그렇지 않다면 포기하는 것이다. 예를 들어 기업이 처한 생산 및 판매와 관련된 제약조건을 완화하려면 추가적인 비용이 들 수 있지만, 생산 및 판매가 증가하여 돈을 더 벌 수 있는 편익도 발생할 수 있다. 이 때 편익이 비용보다 크다면 제약조건을 완화하는 선택은 바람직한 결정이라고 할 수 있다.

[라] $\displaystyle \alpha\le x\le\beta$ 의 모든 실수 값을 가지는 연속확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률밀도함수가 $\displaystyle f(x)$ 일 때• $\displaystyle f(x)$ 는 영보다 크거나 같다.• $\displaystyle f(x)$ 의 그래프와 $\displaystyle x$ 축 및 두 직선 $\displaystyle x=\alpha$ , $\displaystyle x=\beta$ 로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이다.• 두 상수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ ( $\displaystyle \alpha\le a\le b\le\beta$ )에 대하여 확률 $\displaystyle P(a\le X\le b)$ 는 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 그래프와 $\displaystyle x$ 축 및 두 직선 $\displaystyle x=a$ , $\displaystyle x=b$ 로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.• $\displaystyle f(x)$ 가 모든 영역에서 일정한 상수값을 가질 때 $\displaystyle X$ 의 확률분포를 균등분포라고 한다.

＊다음은 [문항 1]과 [문항 2]에 관한 자료이다.

갑(甲)사는 외부업체에서 자동제조기계 A와 B를 임차하여 제품 X와 Y를 생산하려 한다. 제품 X의 개당 판매가격은 200원, 생산에 소요되는 개당 재료비는 80원이며 제품 Y의 개당 판매가격은 150원, 개당 재료비는 50원이다. 제품 X와 Y 생산에 사용하는 자동제조기계 A와 B의 월 임차료는 각각 6,000원이며 각 기계의 월간 가동가능시간은 각각 200시간, 450시간이다. 제품 X를 1개 생산하는데 필요한 A기계 가동시간은 1시간이며, B기계 가동시간은 1시간이다. 또 제품 Y를 1개 생산하는데 필요한 A기계 가동시간은 1시간이며, B기계 가동시간은 3시간이다. 제품 X과 제품 Y의 월간 최대 판매가능량은 각각 150개, 140개이다. 갑사는 판매 가능한 만큼만 생산하므로 제품이나 재료재고를 보유하지 않는다.

[문항 1] (제시문 [가], [나]를 참고하시오.) 월 기준 최대 이윤을 달성하는 제품 X와 Y의 최적 생산판매량을 구하기 위해서는 다음을 수식으로 나타내야 한다. 다음 각 물음에 답하시오. (단, 제품 X, Y의 생산판매량 변수는 각각 $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ 로 표시하시오.)(1) 월 기준 이윤식(2) 월 기준 기계가동시간 제약조건 부등식(3) 월 기준 판매량 제약조건 부등식

[문항 2] (제시문 [나], [다]를 참고하시오.) 다음 각 물음에 답하라.(1) 생산판매가능영역을 $\displaystyle x$ , $\displaystyle y$ 좌표평면에 표시하시오.(2) 월 기준 최대 이윤을 달성하는 제품 X와 Y의 최적 생산판매량을 구하고 그 때 이윤을 계산하시오.(3) 월 사용료 1,000원을 지불하고 옵션장치를 A기계에 설치하면 A기계의 월간가동시간이 200시간에 220시간으로 증가한다. 옵션장치를 설치하면 종전과 비교할 때 이윤의 증감액은 얼마인가?

[문항 3] ([문항 1], [문항 2]과는 독립적인 문항이며, 제시문 [가], [라]를 참고하시오)갑사는 제품 Z를 외주 생산하여 판매하려 한다. 제품 Z에 대해 외부 생산업체에 지불하는 금액은 구입량과는 무관하게 지불하는 고정계약금과 구입량에 따라 지불하는 구입금액이 있다. 고정계약금은 26,400원으로 정해져 있지만 개당 구입가격은 시장상황에 따라 달라진다. 개당 구입가격 $\displaystyle p$ 를 연속확률변수라 할 때 110원 $\displaystyle \le p\le$ 360원 구간에서 균등분포를 따른다.(1) 확률밀도함수 $\displaystyle f(p)$ 를 구하시오.(2) 갑사가 개당 판매가격 400원에 120개의 제품 Z를 판매할 수 있다면 손실을 보지 않을 확률은 얼마인가?

해설강의 준비중

숭실대 2021학년도 모의논술 경상계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2021mo/gyeongsang_2

(문항 1)(1) 월기준 이윤식: $\displaystyle 120x+100y-12,000$ (2) 월기준 기계가동시간 제약조건 부등식: $\displaystyle x+y\le200,\ x+3y\le450$ (3) 월기준 판매량 제약조건 부등식: $\displaystyle 0\le x\le150,\ 0\le y\le140$

(문항 2)(1) 생산판매영역 표시

(2) 최대이윤을 낳는 생산판매량과 이윤(해 1)최대 이윤을 K라고 할 때 이윤식은 다음과 같이 일차 함수로 표시 가능하다. $\displaystyle 120x+100y-12,000=K$ $\displaystyle y=\frac{120}{100}x+\frac{K+12000}{100}$ Correction. 문항 2의 (해 1)에서 본문과 그림에 적힌 이윤 직선 식은 $\displaystyle x$ 의 계수에 음수 부호가 빠져 있다. $\displaystyle 120x+100y-12000=K$ 를 정리하면 $\displaystyle y=-\frac{120}{100}x+\frac{K+12000}{100}$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.생산판매가능영역에서 위 일차함수의 절편이 최대가 될 때 이윤 K도 최대가 된다.이윤식이 식(2)와 식(3)이 만나는 점(동그라미)을 지날 때 절편은 최대가 되며 따라서 이윤도 최대가 된다. 식(2)와 식(3)이 만나는 점은 두 식의 연립방정식 해가 된다.

최적 생산판매량과 그 때 이윤은 다음과 같다.제품X: 150개, 제품Y: 50개, 이윤: 11,000원

(3) 제약조건의 변화와 최적생산판매량 및 이윤옵션을 설치하면 A기계의 제약조건 즉 식(2)이 다음과 같이 이동하므로 생산판매영역도 달라진다.

따라서 최대이윤을 낳는 최적생산판매량 조합도 이동한다.기존 조합: 제품X: 150개, 제품Y: 50개, 이윤: 11,000원새로운 조합: 제품X: 150개, 제품Y: 70개, 이윤: 13,000원

즉, 비용 1,000원에 옵션을 설치하면 이윤이 2,000원 증가하므로 옵션설치에 따른 이윤 순증가액은 1,000원이 된다.

(문항 3)(1)개당 구입가격 $\displaystyle p$ 은 110원 $\displaystyle \le p\le$ 360원 구간에서 균등분포를 따르므로 확률밀도함수 $\displaystyle f(p)$ , x축, 해당 구간 ( $\displaystyle 110\le p\le360$ )로 둘러싸인 영역의 넓이는 1이 되어야 한다.확률밀도함수는 상수값을 가지므로 다음과 같이 표시할 수 있다. $\displaystyle f(p)=k$

넓이가 1이 되기 위해서는 k는 1/250이 되어야 한다.따라서 확률밀도함수 $\displaystyle f(p)=\frac1{250}$ 이다.

(2)개당 판매가격, 판매량이 각각 400원, 120개일 때 회사의 이윤식은 다음과 같이 표시할 수 있다. $\displaystyle (400-p)\times120-26,400$ 손실을 보지 않으려면 이윤식이 영(0)보다 크거나 같아야 한다. $\displaystyle (400-p)\times120-26,400\ge0$ 이 조건을 만족하는 단위당 구입가격 p는 180원 이하가 되어야 한다.

p가 180원 이하일 확률은 위 해당 영역의 넓이(70×1/250)인 7/25가 된다.

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